هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)؟

AO(n)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(n²)

2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

باستخدام المبرهنة الرئيسية (master theorem)، حل T(n) = 8T(n/2) + O(n²) هو:

AΘ(n log n)
BΘ(n³)
CΘ(n² log n)
DΘ(n²)

3.هياكل البياناتمتوسطة

لشجرة ثنائية جذرها 1، وابنه الأيسر 2 والأيمن 3، وللعقدة 2 ابنان 4 (أيسر) و5 (أيمن). ما الاجتياز البعدي؟

A4 5 2 3 1
B4 2 5 1 3
C5 4 3 2 1
D1 2 4 5 3

4.هياكل البياناتصعبة

تزيل خوارزمية Kahn للفرز الطوبولوجي مرارًا الرؤوس ذات درجة الدخول 0. أي بنية تحفظ تلك الرؤوس؟

Aمصفوفة تجاور تسجّل الرؤوس التي أُزيلت بالفعل
Bكومة عظمى مرتبة بحسب درجة الخروج
Cمكدس لكل الحواف المزورة
Dطابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0

5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K₅؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K₅

H =

6.نظرية البياناتصعبة

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس B. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 2.

البداية: Bk = 2

1الحافة AB
2الحافة AC
3الحافة BC
4الحافة BD
5الحافة CE
6الحافة DE
7الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تُنفَّذ الحلقة الداخلية نحو log₂ n مرة لكل من تكرارات الحلقة الخارجية الـ n، فيكون التعقيد O(n log n).

الإجابة

B · O(n log n)

2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · Θ(n³)

لماذا هذه هي الإجابة

log₂ 8 = 3، و n² تنمو أبطأ من n³، لذا تهيمن الأوراق: Θ(n³).

الإجابة

B · Θ(n³)

3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 4 5 2 3 1

لماذا هذه هي الإجابة

يعالج الاجتياز البعدي 4 و5 قبل 2، ثم 3، وأخيرًا الجذر 1.

الإجابة

A · 4 5 2 3 1

4.هياكل البيانات

الإجابة: D · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0

لماذا هذه هي الإجابة

تُحفظ الرؤوس الجاهزة في طابور، وإزالة أحدها تخفض درجات دخول جيرانه، ويُضاف كل ما يبلغ 0، فيكون الزمن O(V + E).

الإجابة

D · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0

5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة BD

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. BE (7)

2. BD (9)

3. CE (10)

4. AB (11)

رقم الحافة 2

الإجابة

الحافة BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms