هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يعني أن لمسألة بنية فرعية مثلى؟

  1. Aأنه يمكن حل المسألة في زمن ثابت
  2. Bأن لكل المسائل الفرعية الحجم نفسه
  3. Cأنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
  4. Dأن للمسألة حلًا أمثل واحدًا بالضبط تشترك فيه كل مسألة فرعية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يكون متوسط البحث في جدول التجزئة O(1) بينما أسوأ الحالات O(n)؟

  1. Aقد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
  2. Bيجب فرز المفاتيح أولًا
  3. Cدوال التجزئة بطيئة
  4. Dالوصول إلى المصفوفات يستغرق O(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

يزور الاجتياز الداخلي (in-order) لشجرة البحث الثنائية المفاتيح:

  1. Aبترتيب الإدراج
  2. Bبترتيب تنازلي دائمًا
  3. Cحسب المستويات
  4. Dبترتيب تصاعدي (مرتبة)
4.هياكل البياناتصعبة

إدراج مفتاح في شجرة AVL جعل الشجرة الفرعية اليسرى لعقدة أطول من اللازم، وذهب المفتاح الجديد إلى الشجرة الفرعية اليسرى لابنها الأيسر (حالة يسار-يسار). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aدوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة
  2. Bدوران إلى اليسار عند الابن، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
  3. Cإعادة تلوين العقدة وابنها
  4. Dدوران واحد إلى اليسار عند العقدة غير المتوازنة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
141464121531ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 5؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية

لماذا هذه هي الإجابة

البنية الفرعية المثلى شرط لكي تعطي الخوارزميات الجشعة والبرمجة الديناميكية إجابات صحيحة.

الإجابة

C · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

مع دالة تجزئة جيدة ومعامل تحميل مناسب تبقى الدلاء قصيرة في المتوسط؛ أما المدخلات العدائية أو التجزئة الرديئة فقد تضع جميع المفاتيح في دلو واحد.

الإجابة

A · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · بترتيب تصاعدي (مرتبة)

لماذا هذه هي الإجابة

زيارة الشجرة الفرعية اليسرى ثم العقدة ثم الشجرة الفرعية اليمنى تُخرج مفاتيح BST بترتيب مرتب.

الإجابة

D · بترتيب تصاعدي (مرتبة)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · دوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة

لماذا هذه هي الإجابة

في حالة يسار-يسار يرفع دوران واحد إلى اليمين الابن الأيسر ويعيد التوازن، أما الحالات المتعرجة فتحتاج إلى دوران مزدوج.

الإجابة

A · دوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: C

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 14
2. B (14): C: 28, D: 20, E: 15
3. E (15): C: 19, F: 18
4. F (18)
5. C (19)
6. D (20)

الجولة 5

C

الإجابة

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms