هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n/2) + O(1)؟

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يكون متوسط البحث في جدول التجزئة O(1) بينما أسوأ الحالات O(n)؟

  1. Aقد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
  2. Bيجب فرز المفاتيح أولًا
  3. Cدوال التجزئة بطيئة
  4. Dالوصول إلى المصفوفات يستغرق O(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تعمل عملية استخراج الأصغر (extract-min) في كومة ثنائية صغرى؟

  1. Aيُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
  2. Bيُبحث في كل الأوراق عن الأصغر الجديد
  3. Cيُزال الجذر وتُزاح كل العناصر موضعًا واحدًا إلى اليسار
  4. Dيُزال العنصر الأخير من المصفوفة
4.هياكل البياناتصعبة

يمكن لمرشّح بلوم (Bloom filter) الإجابة عن سؤال "هل هذا العنصر في المجموعة؟":

  1. Aبإجابات دقيقة دائمًا
  2. Bللأعداد فقط
  3. Cمع احتمال سلبيات كاذبة دون إيجابيات كاذبة
  4. Dمع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K4؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K4
H =
6.نظرية البياناتصعبة
656545515146ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 3؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تتنصف المسألة في كل خطوة بعمل ثابت لكل خطوة، فيكون هناك نحو log₂ n خطوة.

الإجابة

C · O(log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

مع دالة تجزئة جيدة ومعامل تحميل مناسب تبقى الدلاء قصيرة في المتوسط؛ أما المدخلات العدائية أو التجزئة الرديئة فقد تضع جميع المفاتيح في دلو واحد.

الإجابة

A · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل

لماذا هذه هي الإجابة

يملأ العنصر الأخير الفراغ في الجذر ويُبدَّل مع ابنه الأصغر حتى تتحقق خاصية الكومة، ويستغرق ذلك O(log n).

الإجابة

A · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان أي بت خاص بالعنصر يساوي 0 فهو غير موجود قطعًا، وإذا كانت جميعها 1 فهو موجود على الأرجح. تقايض مرشّحات بلوم الدقة مقابل ذاكرة ضئيلة جدًا.

الإجابة

D · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 3

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

الإجابة

H = 3
6.نظرية البيانات

الإجابة: B

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 6, C: 5
2. C (5): E: 9, G: 19
3. B (6): D: 11
4. E (9): F: 14
5. D (11): G: 17
6. F (14)
7. G (17)

الجولة 3

B

الإجابة

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms