هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي خوارزمية تجد أقصر المسارات من مصدر واحد في رسم بياني أوزان أضلاعه غير سالبة؟

  1. Aخوارزمية بيلمان–فورد مطلوبة في جميع الحالات
  2. Bالبحث بالعمق أولًا (DFS)
  3. Cخوارزمية كروسكال (Kruskal)
  4. Dخوارزمية ديكسترا (Dijkstra)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

الفرز الطوبولوجي ممكن فقط في:

  1. Aالرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
  2. Bالرسوم البيانية ذات الأوزان السالبة
  3. Cالرسوم البيانية غير الموجهة
  4. Dالرسوم البيانية التامة
3.هياكل البياناتمتوسطة

ماذا يحدث حين يُعيد جدول تجزئة التجزئة (rehash) بعد تجاوز معامل تحميله حدًا معينًا؟

  1. Aيُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
  2. Bتُحذف أقدم المفاتيح لإفساح المجال
  3. Cتُرتَّب المفاتيح الموجودة في مكانها
  4. Dلا تُنقل إلا المفاتيح المتصادمة إلى قائمة فائض جديدة في نهاية الجدول
4.هياكل البياناتصعبة

تريد لكل عنصر في مصفوفة العنصر الأكبر التالي على يمينه، في زمن كلي O(n). أي بنية تساعد؟

  1. Aجدول تجزئة لكل العناصر
  2. Bمكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها
  3. Cطابور يحفظ كل زوج من العناصر
  4. Dشجرة بحث ثنائية يُعاد بناؤها لكل عنصر
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 4، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 4
L =
6.نظرية البياناتصعبة
111312314911121ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · خوارزمية ديكسترا (Dijkstra)

لماذا هذه هي الإجابة

تعمل خوارزمية ديكسترا مع الأوزان غير السالبة؛ وتتعامل خوارزمية بيلمان–فورد مع الأوزان السالبة؛ وتبني خوارزمية كروسكال أشجارًا ممتدة صغرى.

الإجابة

D · خوارزمية ديكسترا (Dijkstra)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية

لماذا هذه هي الإجابة

يوجد ترتيب طوبولوجي إذا وفقط إذا لم يحتوِ الرسم البياني الموجه على دورات؛ ويمكن إيجاده في O(V + E) باستخدام DFS أو خوارزمية كان (Kahn).

الإجابة

A · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد

لماذا هذه هي الإجابة

لأن الفهرس يُحسب بباقي القسمة على حجم الجدول، يجب إعادة تجزئة كل المفاتيح في الجدول الجديد الأكبر، ومع المضاعفة تبقى الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

A · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · مكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها

لماذا هذه هي الإجابة

بالمسح من اليسار إلى اليمين، اسحب كل عنصر في المكدس أصغر من الحالي (فالحالي إجابته)، ثم ادفع الحالي، وكل عنصر يتحرك مرتين على الأكثر.

الإجابة

B · مكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 10

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

الإجابة

L = 10

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 24

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 11, C: 13
B (11): D: 14, E: 12
E (12): F: 24
C (13)
D (14)
F (24)

أقصر مسار

A → B → E → F
d(F) = 24

الإجابة

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms