هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي خوارزمية تجد أقصر المسارات من مصدر واحد في رسم بياني أوزان أضلاعه غير سالبة؟

  1. Aخوارزمية ديكسترا (Dijkstra)
  2. Bخوارزمية كروسكال (Kruskal)
  3. Cالبحث بالعمق أولًا (DFS)
  4. Dخوارزمية بيلمان–فورد مطلوبة في جميع الحالات
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا سيترتب لو وجد أحدهم خوارزمية كثيرة حدود لمسألة NP-تامة واحدة؟

  1. Aتنتقل تلك المسألة وحدها إلى P
  2. Bيمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
  3. Cتصبح مسألة التوقف قابلة للحسم
  4. Dتصبح كل الخوارزميات ذات الزمن الأسّي خطية فورًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

تضمن أشجار AVL والأشجار الحمراء-السوداء:

  1. Aبحثًا في زمن ثابت في جميع الحالات
  2. Bارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
  3. Cتخزين المفاتيح بترتيب الإدراج
  4. Dألا يكون لأي عقدة ابنان
4.هياكل البياناتصعبة

عقدة في شجرة AVL غير متوازنة لأن الشجرة الفرعية اليمنى لابنها الأيسر صارت أطول من اللازم (حالة يسار-يمين). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aدوران إلى اليمين عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليسار عند العقدة
  2. Bدوران واحد إلى اليسار عند العقدة
  3. Cدوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
  4. Dدوران واحد إلى اليمين عند العقدة
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 5, 3 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 53 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند C؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · خوارزمية ديكسترا (Dijkstra)

لماذا هذه هي الإجابة

تعمل خوارزمية ديكسترا مع الأوزان غير السالبة؛ وتتعامل خوارزمية بيلمان–فورد مع الأوزان السالبة؛ وتبني خوارزمية كروسكال أشجارًا ممتدة صغرى.

الإجابة

A · خوارزمية ديكسترا (Dijkstra)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP

لماذا هذه هي الإجابة

بما أن كل NP تُختزل إلى أي مسألة NP-تامة في زمن كثير حدود، فإن خوارزمية سريعة لواحدة تعطي خوارزمية سريعة للجميع.

الإجابة

B · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن

لماذا هذه هي الإجابة

تحافظ الأشجار ذاتية التوازن على ارتفاع لوغاريتمي، لذا تكون عمليات البحث والإدراج والحذف O(log n) في أسوأ الحالات.

الإجابة

B · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

يحوّل الدوران الأول حالة يسار-يمين إلى حالة يسار-يسار، ثم يصلحها دوران إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة.

الإجابة

C · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 14

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

الإجابة

L = 14

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

الإجابة

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms