هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يجد البحث بالعرض أولًا في رسم بياني غير موزون:

  1. Aأقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
  2. Bأقصر المسارات في رسوم بيانية تحتوي على أوزان سالبة للحواف
  3. Cالشجرة الممتدة الصغرى
  4. Dترتيبًا طوبولوجيًا في جميع الرسوم البيانية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما التعقيد الزمني لبناء كومة ثنائية من n عنصر غير مرتب بالطريقة التصاعدية (bottom-up)؟

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي بنية بيانات يستخدمها البرنامج قيد التشغيل لتتبع استدعاءات الدوال النشطة ومتغيراتها المحلية؟

  1. Aجدول تجزئة للدوال
  2. Bطابور ذاكرة الكومة
  3. Cشجرة بحث ثنائية للإطارات
  4. Dمكدس الاستدعاءات (call stack)
4.هياكل البياناتصعبة

تُستخدم شجرة المقاطع (segment tree) عادةً من أجل:

  1. Aالإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
  2. Bفرز السلاسل النصية أبجديًا بتخزين كل بادئة في عقدة منفصلة من الشجرة
  3. Cتخزين حواف مخطط
  4. Dتنفيذ مكدس
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
314181059114ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية

لماذا هذه هي الإجابة

يزور BFS العقد بترتيب بعدها (بعدد الأضلاع) عن المصدر، لذا يجد أقصر المسارات غير الموزونة في O(V + E).

الإجابة

A · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

جمع كلفة الإنزال (sift-down) عبر المستويات يعطي متسلسلة متقاربة، لذا يعمل بناء الكومة (heapify) في زمن خطي.

الإجابة

D · O(n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · مكدس الاستدعاءات (call stack)

لماذا هذه هي الإجابة

كل استدعاء يدفع إطارًا وكل عودة تسحبه، ولهذا ينتهي الاستدعاء الأحدث أولًا.

الإجابة

D · مكدس الاستدعاءات (call stack)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن شجرة المقاطع قيمًا مجمّعة للفترات، وتدعم استعلامات النطاقات والتحديثات النقطية في زمن O(log n).

الإجابة

A · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 2

الرؤوس الفردية

A, B, C, D, E, F → 6
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 9

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 3
B (3): C: 17, D: 4
D (4): E: 14, F: 9, G: 5
G (5)
F (9)
E (14)
C (17)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 9

الإجابة

d(F) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms