هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني المُطفأ (amortised) لإضافة عنصر إلى نهاية مصفوفة ديناميكية تضاعف سعتها عند امتلائها؟

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يكون متوسط البحث في جدول التجزئة O(1) بينما أسوأ الحالات O(n)؟

  1. Aدوال التجزئة بطيئة
  2. Bقد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
  3. Cيجب فرز المفاتيح أولًا
  4. Dالوصول إلى المصفوفات يستغرق O(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يمكن تخزين كومة ثنائية في مصفوفة دون أي مؤشرات؟

  1. Aلأن الأكوام لا تحتوي أبدًا أكثر من 100 عنصر
  2. Bلأن كل المفاتيح في الكومة متساوية
  3. Cلأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
  4. Dلأن المصفوفات تُبقي المفاتيح مرتبة تلقائيًا فلا حاجة إلى مؤشرات
4.هياكل البياناتصعبة

عقدة في شجرة AVL غير متوازنة لأن الشجرة الفرعية اليمنى لابنها الأيسر صارت أطول من اللازم (حالة يسار-يمين). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aدوران إلى اليمين عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليسار عند العقدة
  2. Bدوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
  3. Cدوران واحد إلى اليمين عند العقدة
  4. Dدوران واحد إلى اليسار عند العقدة
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 12 رؤوس و16 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 12|E| = 16
k =
6.نظرية البياناتصعبة
10528111512153ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يحدث نسخ جميع العناصر فقط عند قوى العدد اثنين؛ وعند توزيع هذه الكلفة على جميع الإضافات تكون الكلفة المتوسطة لكل إضافة ثابتة.

الإجابة

D · O(1)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

مع دالة تجزئة جيدة ومعامل تحميل مناسب تبقى الدلاء قصيرة في المتوسط؛ أما المدخلات العدائية أو التجزئة الرديئة فقد تضع جميع المفاتيح في دلو واحد.

الإجابة

B · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة

لماذا هذه هي الإجابة

التمام يعني عدم وجود فجوات، فيكون ابنا الفهرس i دائمًا في 2i + 1 و2i + 2.

الإجابة

C · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

يحوّل الدوران الأول حالة يسار-يمين إلى حالة يسار-يسار، ثم يصلحها دوران إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة.

الإجابة

B · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 5

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

12 − 1 = 11

الحواف المراد حذفها

k = 16 − 11 = 5

الإجابة

k = 5
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 28

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 10, C: 5
C (5): B: 7, E: 16, G: 20
B (7): D: 15
D (15): G: 18
E (16): F: 28
G (18)
F (28)

أقصر مسار

A → C → E → F
d(F) = 28

الإجابة

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms