هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n/2) + O(1)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

هل 22n تنتمي إلى O(2ⁿ)؟

  1. Aلا، لأن 22n تنمو أبطأ من 2ⁿ
  2. Bنعم، لأن كلتيهما أسيتان
  3. Cلا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
  4. Dنعم، لأن المعاملات الثابتة في الأس تُهمَل دائمًا في O الكبير
3.هياكل البياناتمتوسطة

جدول تجزئة حجمه 7 يستخدم h(k) = k mod 7 والتقصّي الخطي (linear probing). بعد إدراج 10، أين يُخزَّن 17؟

  1. Aالفهرس 3
  2. Bالفهرس 0
  3. Cالفهرس 4
  4. Dالفهرس 6
4.هياكل البياناتصعبة

أي خاصية تُبقي كل شجرة B متوازنة تمامًا؟

  1. Aتخزّن كل عقدة مفتاحًا واحدًا
  2. Bلكل عقدة ابنان بالضبط
  3. Cكل الأوراق على العمق نفسه
  4. Dالمفاتيح لا تُخزَّن إلا في الجذر
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 4, 3 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
1215132687519ABCDEF

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة DF
  8. 8الحافة EF
  9. 9الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

وفق النظرية الرئيسية تهيمن nlog₂ 2 = n على العمل الثابت، فيكون T(n) = Θ(n)، كما في إيجاد القيمة العظمى بالتقسيم إلى نصفين.

الإجابة

C · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد

لماذا هذه هي الإجابة

الثابت المضاف إلى الأس يعطي معاملًا ثابتًا، أما الثابت الذي يضرب الأس فيغيّر الأساس ومعدل النمو.

الإجابة

C · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · الفهرس 4

لماذا هذه هي الإجابة

10 mod 7 = 3 و17 mod 7 = 3، والفهرس 3 مشغول، فيجرّب التقصّي الخطي الخانة التالية، أي الفهرس 4.

الإجابة

C · الفهرس 4
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · كل الأوراق على العمق نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

تنقسم العقد إلى الأعلى حين تمتلئ، ولا يزداد ارتفاع الشجرة إلا حين ينقسم الجذر، فتبقى الأوراق كلها دائمًا على المستوى نفسه.

الإجابة

C · كل الأوراق على العمق نفسه
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 19

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 37 = 2(L + 10) − 2
L = 19

الإجابة

L = 19

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. BD (2)
2. EF (5)
3. CE (6)
4. DF (7)
5. AB (12)

رقم الحافة 4

DF

الإجابة

الحافة DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms