هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

كم مستوى لعودية الفرز بالدمج لمصفوفة من n عنصر؟

  1. Aنحو log₂ n
  2. Bنحو n
  3. Cنحو √n
  4. Dنحو n / 2
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما التعقيد الزمني لبناء كومة ثنائية من n عنصر غير مرتب بالطريقة التصاعدية (bottom-up)؟

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

لشجرة ثنائية جذرها 1، وابنه الأيسر 2 والأيمن 3، وللعقدة 2 ابنان 4 (أيسر) و5 (أيمن). ما الاجتياز القبلي؟

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.هياكل البياناتصعبة

يمكن لمرشّح بلوم (Bloom filter) الإجابة عن سؤال "هل هذا العنصر في المجموعة؟":

  1. Aللأعداد فقط
  2. Bمع احتمال سلبيات كاذبة دون إيجابيات كاذبة
  3. Cمع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
  4. Dبإجابات دقيقة دائمًا
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
1461194952011ABCDEFG

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 3؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 3
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة CE
  4. 4الحافة DE
  5. 5الحافة DF
  6. 6الحافة EF
  7. 7الحافة GB
  8. 8الحافة GC
  9. 9الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · نحو log₂ n

لماذا هذه هي الإجابة

يستغرق التنصيف من n إلى 1 نحو log₂ n مستوى، ويُجري كل مستوى عمل دمج O(n)، فيكون المجموع O(n log n).

الإجابة

A · نحو log₂ n
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

جمع كلفة الإنزال (sift-down) عبر المستويات يعطي متسلسلة متقاربة، لذا يعمل بناء الكومة (heapify) في زمن خطي.

الإجابة

A · O(n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 1 2 4 5 3

لماذا هذه هي الإجابة

يزور الاجتياز القبلي 1، ثم شجرته الفرعية اليسرى (2، 4، 5)، ثم 3، والخيارات الأخرى هي الاجتياز الوسطي والبعدي ومستوى بعد مستوى.

الإجابة

C · 1 2 4 5 3
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان أي بت خاص بالعنصر يساوي 0 فهو غير موجود قطعًا، وإذا كانت جميعها 1 فهو موجود على الأرجح. تقايض مرشّحات بلوم الدقة مقابل ذاكرة ضئيلة جدًا.

الإجابة

C · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

الرؤوس الفردية

B, D, E, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة GB

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. CE (1)
2. DF (4)
3. GB (5)
4. AC (6)
5. EF (9)
6. GE (11)

رقم الحافة 3

GB

الإجابة

الحافة GB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms