هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تكون البرمجة الديناميكية مفيدة عندما تحتوي المسألة على:

  1. Aحلقة واحدة
  2. Bلا مسائل فرعية على الإطلاق، فيمكن حلها في خطوة واحدة
  3. Cمسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
  4. Dمدخلات عشوائية فقط
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تعريف للفئة P صحيح؟

  1. Aالمسائل التي يمكن التحقق من حلولها لكن لا يمكن إيجادها أبدًا في زمن كثير حدود
  2. Bمسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود
  3. Cالمسائل التي تحتاج إلى زمن أسّي على كل حاسوب
  4. Dالمسائل التي يمكن حلها على التوازي
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي شرط توازن تحافظ عليه شجرة AVL عند كل عقدة؟

  1. Aأن تحتوي الشجرتان الفرعيتان لكل عقدة العدد نفسه تمامًا من العقد
  2. Bأن تُلوَّن كل عقدة بالأحمر أو الأسود
  3. Cألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1
  4. Dأن تكون كل الأوراق على العمق نفسه بالضبط
4.هياكل البياناتصعبة

ما الخاصية التي يجب أن تحققها الشجرة الحمراء-السوداء؟

  1. Aيجب أن يكون الجذر أحمر
  2. Bيجب أن تكون كل عقدة حمراء
  3. Cكل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
  4. Dيجب أن يكون لكل عقدة حمراء أبناء حمر، فتشكّل العقد الحمراء سلاسل متصلة حتى الأوراق
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K5؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K5
H =
6.نظرية البياناتصعبة
3131618613ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى

لماذا هذه هي الإجابة

تخزين نتائج المسائل الفرعية المتداخلة (التذكير memoisation أو الجدولة tabulation) يتجنب العمل المكرر، فيحوّل الخوارزميات الأسّية إلى خوارزميات كثيرة الحدود.

الإجابة

C · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · مسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

تحتوي P مسائل القرار التي لها خوارزمية حتمية في زمن كثير حدود، مثل التحقق من اتصال رسم بياني.

الإجابة

B · مسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · ألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1

لماذا هذه هي الإجابة

يجب أن يكون معامل التوازن (الارتفاع الأيسر − الارتفاع الأيمن) −1 أو 0 أو 1، وتعيده الدورانات بعد الإدراج والحذف.

الإجابة

C · ألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء

لماذا هذه هي الإجابة

قواعد الشجرة الحمراء-السوداء: العقد حمراء أو سوداء، والجذر أسود، وأبناء العقد الحمراء سود، ولجميع المسارات الارتفاع الأسود نفسه، مما يبقي الارتفاع ≤ 2 log₂(n + 1).

الإجابة

C · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 5

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 3, C: 13
B (3): D: 4, G: 9
D (4): E: 10, F: 5, G: 5
F (5)
G (5): E: 8
E (8)
C (13)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 5

الإجابة

d(F) = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms