هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة صحيحة عن اختيار العنصر الأصغر رقم k في مصفوفة غير مرتبة؟

  1. Aيعمل Quickselect في O(log n) في أسوأ الحالات لأنه يعود على جانب واحد فقط من المحور
  2. Bيحتاج الاختيار دائمًا إلى Ω(n log n) لأنه يتطلب الفرز
  3. Cيعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
  4. Dالاختيار ممكن فقط في O(n²)
3.هياكل البياناتمتوسطة

جدول تجزئة حجمه 7 يستخدم h(k) = k mod 7 والتقصّي الخطي (linear probing). بعد إدراج 10، أين يُخزَّن 17؟

  1. Aالفهرس 3
  2. Bالفهرس 0
  3. Cالفهرس 6
  4. Dالفهرس 4
4.هياكل البياناتصعبة

ما الخاصية التي يجب أن تحققها الشجرة الحمراء-السوداء؟

  1. Aيجب أن تكون كل عقدة حمراء
  2. Bيجب أن يكون لكل عقدة حمراء أبناء حمر، فتشكّل العقد الحمراء سلاسل متصلة حتى الأوراق
  3. Cيجب أن يكون الجذر أحمر
  4. Dكل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K6؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K6
H =
6.نظرية البياناتصعبة
6712131114126911ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك n مستوى بعمل ثابت لكل منها، كما في الجمع العودي لعناصر مصفوفة.

الإجابة

C · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

العمل المتوقع لـ Quickselect هو n + n/2 + n/4 + ... = O(n) مع محاور عشوائية، واختيار المحور وسيطًا للوسائط يجعل أسوأ الحالات خطيًا.

الإجابة

C · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · الفهرس 4

لماذا هذه هي الإجابة

10 mod 7 = 3 و17 mod 7 = 3، والفهرس 3 مشغول، فيجرّب التقصّي الخطي الخانة التالية، أي الفهرس 4.

الإجابة

D · الفهرس 4
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء

لماذا هذه هي الإجابة

قواعد الشجرة الحمراء-السوداء: العقد حمراء أو سوداء، والجذر أسود، وأبناء العقد الحمراء سود، ولجميع المسارات الارتفاع الأسود نفسه، مما يبقي الارتفاع ≤ 2 log₂(n + 1).

الإجابة

D · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 60

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

الإجابة

H = 60
6.نظرية البيانات

الإجابة: G

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 6, C: 7
2. B (6): D: 19, G: 12
3. C (7): E: 18
4. G (12)
5. E (18): F: 30
6. D (19)
7. F (30)

الجولة 4

G

الإجابة

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms