هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

كم مقارنة تقريبًا يحتاجها البحث الثنائي في أسوأ الحالات على مصفوفة مرتبة من 1,000,000 عنصر؟

  1. Aنحو 1,000
  2. Bنحو 500,000
  3. Cنحو 100
  4. Dنحو 20
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُقارَن n! و2ⁿ عندما تكون n كبيرة؟

  1. Aتنموان بالمعدل نفسه
  2. Bn! هي O(n²)
  3. Cn! تنمو أسرع من 2ⁿ
  4. D2ⁿ تنمو أسرع من n!
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي بنية بيانات تُستخدم للتحقق من توازن الأقواس في "{[()]}"؟

  1. Aشجرة البحث الثنائية
  2. Bالطابور
  3. Cجدول التجزئة
  4. Dالمكدس
4.هياكل البياناتصعبة

بافتراض التجزئة المنتظمة البسيطة، ما الزمن المتوقع للبحث في جدول تجزئة بالتسلسل فيه n مفتاحًا وm دلوًا؟

  1. AO(1 + α)، حيث α = n / m
  2. BO(m)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 17 رؤوس و17 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 17|E| = 17
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 3 يبدأ وينتهي عند E؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · نحو 20

لماذا هذه هي الإجابة

220 ≈ 1,048,576، فبعد نحو 20 تنصيفًا لا يبقى إلا عنصر واحد.

الإجابة

D · نحو 20
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · n! تنمو أسرع من 2ⁿ

لماذا هذه هي الإجابة

عندما n ≥ 4 تتجاوز n! قيمة 2ⁿ، وتنمو النسبة بلا حد لأن كل عامل إضافي في n! أكبر من 2.

الإجابة

C · n! تنمو أسرع من 2ⁿ
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · المكدس

لماذا هذه هي الإجابة

ادفع كل قوس فتح (push) واسحب (pop) عند ظهور قوس إغلاق، ويجب أن يطابق القوس المسحوب، وأن يكون المكدس فارغًا في النهاية.

الإجابة

D · المكدس
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(1 + α)، حيث α = n / m

لماذا هذه هي الإجابة

حساب التجزئة كلفته O(1) والطول المتوقع للسلسلة α، فإبقاء α محدودًا بإعادة التحجيم يعطي زمنًا متوقعًا O(1).

الإجابة

A · O(1 + α)، حيث α = n / m
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 1

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

17 − 1 = 16

الحواف المراد حذفها

k = 17 − 16 = 1

الإجابة

k = 1
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

خطوة إضافية

(M³)EE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 0·1 + 4·0 + 0·1 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms