هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي خوارزمية فرز مستقرة؟

  1. Aالفرز بالدمج
  2. Bالفرز السريع (النسخة الموضعية المعتادة)
  3. Cالفرز بالكومة
  4. Dالفرز بالاختيار (النسخة المعتادة)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تكشف خوارزمية Bellman–Ford دورة سالبة الوزن قابلة للبلوغ من المصدر؟

  1. Aبعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
  2. Bتتحقق مما إذا كانت لأي حافة وزن سالب
  3. Cتُنفّذ خوارزمية Dijkstra مرتين وتقارن نتيجتَي المسافات
  4. Dتعدّ الدورات بالبحث بالعمق أولًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟

  1. Aاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
  2. Bاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
  3. Cانظر إلى الجذر فقط
  4. Dزُر كل ورقة وقارن بينها
4.هياكل البياناتصعبة

إدراج مفتاح في شجرة AVL جعل الشجرة الفرعية اليسرى لعقدة أطول من اللازم، وذهب المفتاح الجديد إلى الشجرة الفرعية اليسرى لابنها الأيسر (حالة يسار-يسار). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aدوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة
  2. Bدوران إلى اليسار عند الابن، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
  3. Cدوران واحد إلى اليسار عند العقدة غير المتوازنة
  4. Dإعادة تلوين العقدة وابنها
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 2 رؤوس من الدرجة 5, 3 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 32 × deg 53 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
514368331513ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · الفرز بالدمج

لماذا هذه هي الإجابة

يكون الفرز بالدمج مستقرًا إذا أخذ الدمج من النصف الأيسر أولًا عند التساوي. أما الفرز السريع الموضعي والفرز بالكومة والفرز بالاختيار فعادةً ليست مستقرة.

الإجابة

A · الفرز بالدمج
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة

لماذا هذه هي الإجابة

تُوجد كل المسافات الأقصر الحقيقية خلال V − 1 جولة، فإذا أمكن بعدُ تحسين حافة فلا بد من وجود دورة سالبة.

الإجابة

A · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر

لماذا هذه هي الإجابة

العقدة الأقصى يسارًا ليس في الشجرة مفتاح أصغر منها، فهي الأصغر، والكلفة متناسبة مع الارتفاع.

الإجابة

B · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · دوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة

لماذا هذه هي الإجابة

في حالة يسار-يسار يرفع دوران واحد إلى اليمين الابن الأيسر ويعيد التوازن، أما الحالات المتعرجة فتحتاج إلى دوران مزدوج.

الإجابة

A · دوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 28 = 2(L + 9) − 2
L = 12

الإجابة

L = 12

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 14

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): C: 5
C (5): B: 19, E: 11, G: 20
E (11): D: 19, F: 14
F (14): D: 17
D (17)
B (19)
G (20)

أقصر مسار

A → C → E → F
d(F) = 14

الإجابة

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms