هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا تنتقل روتينات فرز كثيرة في المكتبات إلى الفرز بالإدراج للمصفوفات الفرعية الصغيرة جدًا؟

  1. Aلأن الخوارزميات العودية لا تتعامل مع مصفوفات أقل من 10 عناصر
  2. Bلأن الفرز بالإدراج O(n log n) في أسوأ الحالات
  3. Cلأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
  4. Dلأن الفرز بالإدراج يستهلك ذاكرة أقل من أي خوارزمية فرز أخرى على المدخلات الكبيرة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي خوارزمية تجد شجرة ممتدة صغرى بإضافة أرخص ضلع لا يُكوّن دورة بشكل متكرر؟

  1. Aخوارزمية بريم بدءًا من عقدة واحدة
  2. Bخوارزمية كروسكال
  3. Cخوارزمية فلويد–وارشال
  4. Dخوارزمية ديكسترا
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يمكن تخزين كومة ثنائية في مصفوفة دون أي مؤشرات؟

  1. Aلأن كل المفاتيح في الكومة متساوية
  2. Bلأن الأكوام لا تحتوي أبدًا أكثر من 100 عنصر
  3. Cلأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
  4. Dلأن المصفوفات تُبقي المفاتيح مرتبة تلقائيًا فلا حاجة إلى مؤشرات
4.هياكل البياناتصعبة

أي بنية تتيح حساب الأكبر في كل نافذة حجمها k في مصفوفة بزمن كلي O(n)؟

  1. Aمصفوفة مرتبة تُحدَّث بالإزاحة
  2. Bdeque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
  3. Cقائمة مترابطة أحادية لعناصر النافذة
  4. Dكومة صغرى يُعاد بناؤها لكل نافذة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
186121019132ABCDE

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة

لماذا هذه هي الإجابة

عندما تكون n صغيرة تتفوق حلقة الفرز بالإدراج البسيطة على كلفة العودية في الفرز السريع أو الفرز بالدمج، رغم أنه O(n²).

الإجابة

C · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · خوارزمية كروسكال

لماذا هذه هي الإجابة

ترتب خوارزمية كروسكال الأضلاع حسب الوزن وتضيفها إذا كانت تربط مكونات مختلفة؛ بينما تنمّي خوارزمية بريم شجرة واحدة من رأس بداية.

الإجابة

B · خوارزمية كروسكال
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة

لماذا هذه هي الإجابة

التمام يعني عدم وجود فجوات، فيكون ابنا الفهرس i دائمًا في 2i + 1 و2i + 2.

الإجابة

C · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة

لماذا هذه هي الإجابة

مقدمة الـ deque هي دائمًا أكبر عناصر النافذة، وكل فهرس يدخل الـ deque ويغادره مرة واحدة، فيكون العمل خطيًا.

الإجابة

B · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

الرؤوس الفردية

B, C, D, E → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة BC

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. BE (2)
2. AC (6)
3. BD (10)
4. BC (12)

رقم الحافة 4

BC

الإجابة

الحافة BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms