هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لضرب مصفوفتين n × n بالحلقة الثلاثية القياسية؟

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تستغرق مسألة حقيبة الظهر 0/1 المحلولة بالبرمجة الديناميكية زمنًا O(nW). لماذا يُسمى هذا شبه كثير الحدود (pseudo-polynomial)؟

  1. Aلأن n صغيرة دائمًا
  2. Bلأن الخوارزمية عشوائية ويتفاوت زمن تشغيلها مع كل مدخل
  3. Cلأنها تعمل فقط عندما W = 0
  4. Dلأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W
3.هياكل البياناتمتوسطة

طابور منفّذ بمكدسين: push إلى مكدس "in"، وpop من مكدس "out" مع إعادة ملئه من "in" حين يفرغ. ما الكلفة المستهلَكة لكل عملية؟

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.هياكل البياناتصعبة

أي خاصية تُبقي كل شجرة B متوازنة تمامًا؟

  1. Aتخزّن كل عقدة مفتاحًا واحدًا
  2. Bلكل عقدة ابنان بالضبط
  3. Cكل الأوراق على العمق نفسه
  4. Dالمفاتيح لا تُخزَّن إلا في الجذر
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
101113699159ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n³)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك n² مدخلًا ويحتاج كل منها إلى n عملية ضرب، فيكون العدد n³ عملية.

الإجابة

C · O(n³)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W

لماذا هذه هي الإجابة

زمن التشغيل كثير حدود بالنسبة إلى قيمة W لكنه أسّي بالنسبة إلى طولها (log W بت)؛ ومسألة حقيبة الظهر 0/1 هي NP-كاملة.

الإجابة

D · لأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يُدفع كل عنصر ويُسحب مرتين على الأكثر إجمالًا، فرغم أن إعادة ملء واحدة قد تستغرق O(n)، يكون المتوسط على سلسلة العمليات O(1).

الإجابة

B · O(1)
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · كل الأوراق على العمق نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

تنقسم العقد إلى الأعلى حين تمتلئ، ولا يزداد ارتفاع الشجرة إلا حين ينقسم الجذر، فتبقى الأوراق كلها دائمًا على المستوى نفسه.

الإجابة

C · كل الأوراق على العمق نفسه
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

A, E → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 34

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 10, C: 11
B (10): D: 16, E: 19
C (11)
D (16)
E (19): F: 34
F (34)

أقصر مسار

A → B → E → F
d(F) = 34

الإجابة

d(F) = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms