هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: for j = 1 to i: نفّذ عملًا O(1)؟

  1. AO(n³)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) نفّذ عملًا O(1)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

تكون شجرة البادئات (trie) فعّالة بشكل خاص في:

  1. Aإيجاد أقصر المسارات
  2. Bفرز الأعداد
  3. Cتخزين المصفوفات
  4. Dعمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
4.هياكل البياناتصعبة

أُدرجت المفاتيح 5، 3، 8، 1 بهذا الترتيب في كومة ثنائية صغرى فارغة قائمة على مصفوفة. ما المصفوفة النهائية؟

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
144116110981318ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 10
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يُنفَّذ الجسم الداخلي n(n + 1) / 2 مرة إجمالًا، وهذا ما زال تربيعيًا.

الإجابة

D · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

المجموع n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn، والعدد التوافقي Hn هو Θ(log n).

الإجابة

A · O(n log n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن trie السلاسل حرفًا حرفًا على طول المسارات، لذا يستغرق البحث واستعلامات البادئة زمنًا يتناسب مع طول المفتاح.

الإجابة

D · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · [1, 3, 8, 5]

لماذا هذه هي الإجابة

بعد 5 و3 و8 تكون المصفوفة [3, 5, 8]، ويذهب 1 إلى الفهرس 3، فيُبدَّل مع أبيه 5 ثم مع 3، فتصبح [1, 3, 8, 5].

الإجابة

C · [1, 3, 8, 5]
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 43

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

DE (1): خذ
BC (4): خذ
CE (6): خذ
GC (8): خذ
GB (9): تخطَّ، تُغلق دورة
DF (10): خذ
BD (11): تخطَّ، تُغلق دورة
GD (13): تخطَّ، تُغلق دورة
AB (14): خذ

الوزن الكلي

W = 1 + 4 + 6 + 8 + 10 + 14 = 43

الإجابة

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms