هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ترتب مصفوفة من n عنصر مرة واحدة ثم تجيب عن k استعلام عضوية بالبحث الثنائي. ما الكلفة الكلية؟

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(n + k)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا سيترتب لو وجد أحدهم خوارزمية كثيرة حدود لمسألة NP-تامة واحدة؟

  1. Aتصبح كل الخوارزميات ذات الزمن الأسّي خطية فورًا
  2. Bتنتقل تلك المسألة وحدها إلى P
  3. Cيمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
  4. Dتصبح مسألة التوقف قابلة للحسم
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يكون اجتياز مصفوفة عمليًا أسرع غالبًا بكثير من اجتياز قائمة مترابطة بالطول نفسه؟

  1. Aلأن المصفوفات تستخدم تعليمات أقل لمقارنة القيم
  2. Bلأن القوائم المترابطة تخزّن العناصر على القرص دائمًا
  3. Cلأن اجتياز المصفوفة O(1) في المجموع، بينما اجتياز القائمة المترابطة O(n)
  4. Dلأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
4.هياكل البياناتصعبة

يُحذف عادةً عقدة لها ابنان من شجرة بحث ثنائية عن طريق:

  1. Aمبادلتها مع الجذر
  2. Bاستبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
  3. Cإعادة بناء الشجرة الفرعية تحتها من الصفر وإعادة إدراج كل مفتاح كانت تحتويه
  4. Dإزالة الشجرة الفرعية بأكملها
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 3
L =
6.نظرية البياناتصعبة
111916171491075ABCDEFG

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس C. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 2.

البداية: Ck = 2
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة GC
  8. 8الحافة GD
  9. 9الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n log n + k log n)

لماذا هذه هي الإجابة

يكلف الفرز O(n log n) وكل استعلام O(log n)، وهذا يتفوق على k مسحًا خطيًا (O(nk)) عندما تكون k كبيرة.

الإجابة

A · O(n log n + k log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP

لماذا هذه هي الإجابة

بما أن كل NP تُختزل إلى أي مسألة NP-تامة في زمن كثير حدود، فإن خوارزمية سريعة لواحدة تعطي خوارزمية سريعة للجميع.

الإجابة

C · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج

لماذا هذه هي الإجابة

الذاكرة المتجاورة تعطي محلية مرجعية جيدة، بينما قد تكون العقد المترابطة متفرقة فتسبب إخفاقات كثيرة في الـ cache.

الإجابة

D · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

للخلف في الترتيب الداخلي ابن واحد على الأكثر، لذا يمكن إزالته بسهولة بعد نسخ مفتاحه إلى العقدة المراد حذفها.

الإجابة

B · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 4

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

الإجابة

L = 4

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة GE

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. GC (10)
2. GE (5)
3. GD (7)
4. DF (9)
5. BC (16)
6. AB (11)

رقم الحافة 2

GE

الإجابة

الحافة GE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms