هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا تنتقل روتينات فرز كثيرة في المكتبات إلى الفرز بالإدراج للمصفوفات الفرعية الصغيرة جدًا؟

  1. Aلأن الفرز بالإدراج O(n log n) في أسوأ الحالات
  2. Bلأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
  3. Cلأن الفرز بالإدراج يستهلك ذاكرة أقل من أي خوارزمية فرز أخرى على المدخلات الكبيرة
  4. Dلأن الخوارزميات العودية لا تتعامل مع مصفوفات أقل من 10 عناصر
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُصنَّف مسألة البائع المتجول؟

  1. Aتنتمي إلى P لأن خوارزمية Dijkstra تحلها بزيارة كل مدينة مرة واحدة
  2. Bنسخة القرار في P لكن نسخة التحسين NP-تامة
  3. Cغير قابلة للحسم
  4. Dنسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما بنية البيانات التي يستخدمها البحث بالعمق أولًا (DFS، النسخة التكرارية)؟

  1. Aمكدس
  2. Bجدول تجزئة فقط
  3. Cكومة
  4. Dطابور
4.هياكل البياناتصعبة

ما بنية البيانات التي تدعم ذاكرة تخزين مؤقت LRU (least recently used) بعمليتي get وput في O(1)؟

  1. Aخريطة تجزئة مع قائمة مترابطة مزدوجة
  2. Bمكدس فقط
  3. Cشجرة بحث ثنائية فقط
  4. Dمصفوفة مرتبة واحدة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
7288111361ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة

لماذا هذه هي الإجابة

عندما تكون n صغيرة تتفوق حلقة الفرز بالإدراج البسيطة على كلفة العودية في الفرز السريع أو الفرز بالدمج، رغم أنه O(n²).

الإجابة

B · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة

لماذا هذه هي الإجابة

"هل توجد جولة طولها k على الأكثر؟" مسألة NP-تامة، وإيجاد أقصر جولة NP-صعب، لأنه بالصعوبة نفسها على الأقل.

الإجابة

D · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · مكدس

لماذا هذه هي الإجابة

يتعمّق DFS قدر الإمكان، مستخدمًا بشكل طبيعي مكدسًا (أو مكدس استدعاءات العودية)، بينما يستخدم BFS طابورًا.

الإجابة

A · مكدس
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · خريطة تجزئة مع قائمة مترابطة مزدوجة

لماذا هذه هي الإجابة

تجد خريطة التجزئة العقد في O(1)، وتنقل القائمة المترابطة المزدوجة العناصر المستخدمة إلى المقدمة وتزيل من النهاية في O(1).

الإجابة

A · خريطة تجزئة مع قائمة مترابطة مزدوجة
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 7, C: 2
2. C (2): E: 13
3. B (7): D: 15
4. E (13): F: 14
5. F (14)
6. D (15)

الجولة 4

E

الإجابة

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms