هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n/2) + O(1)؟

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

الفرز الطوبولوجي ممكن فقط في:

  1. Aالرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
  2. Bالرسوم البيانية التامة
  3. Cالرسوم البيانية غير الموجهة
  4. Dالرسوم البيانية ذات الأوزان السالبة
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم يستغرق البحث عن كلمة طولها L في trie بأبجدية ثابتة؟

  1. AO(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
  2. BO(n)، حيث n عدد الكلمات
  3. CO(L × n)
  4. DO(log n)، حيث n عدد الكلمات
4.هياكل البياناتصعبة

تتضاعف مصفوفة ديناميكية حين تمتلئ. لماذا لا تقلصها تطبيقات كثيرة إلا حين تكون ممتلئة بمقدار الربع، لا النصف؟

  1. Aلأن التنصيف عند النصف سيُفقد عناصر
  2. Bلأن مخصِّص الذاكرة لا يستطيع تحرير الذاكرة إلا بأرباع الكتلة
  3. Cلتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
  4. Dلإبقاء المصفوفة مرتبة
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 9 رؤوس و10 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 9|E| = 10
k =
6.نظرية البياناتصعبة
17616519104ABCDE

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 5|E| = 7
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

وفق النظرية الرئيسية تهيمن nlog₂ 2 = n على العمل الثابت، فيكون T(n) = Θ(n)، كما في إيجاد القيمة العظمى بالتقسيم إلى نصفين.

الإجابة

C · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية

لماذا هذه هي الإجابة

يوجد ترتيب طوبولوجي إذا وفقط إذا لم يحتوِ الرسم البياني الموجه على دورات؛ ويمكن إيجاده في O(V + E) باستخدام DFS أو خوارزمية كان (Kahn).

الإجابة

A · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة

لماذا هذه هي الإجابة

كل حرف يختار ابنًا واحدًا، فيستغرق البحث L خطوة أيًا كان عدد الكلمات في الـ trie.

الإجابة

A · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد

لماذا هذه هي الإجابة

التقليص عند النصف قد يُطلق إعادة تحجيم مع كل عملية في سلسلة كهذه، والفجوة بين 1/4 والامتلاء تُبقي الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

C · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 2

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

9 − 1 = 8

الحواف المراد حذفها

k = 10 − 8 = 2

الإجابة

k = 2
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 31

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BE (4): خذ
BD (5): خذ
AC (6): خذ
DE (10): تخطَّ، تُغلق دورة
BC (16): خذ

الوزن الكلي

W = 4 + 5 + 6 + 16 = 31

الإجابة

W = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms