هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لخوارزمية Bellman–Ford على رسم بياني فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V × E)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تعريف للفئة NP صحيح؟

  1. Aالمسائل التي لا يمكن حلها في زمن كثير حدود
  2. Bمسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة
  3. Cالمسائل غير كثيرة الحدود
  4. Dالمسائل التي لا تستطيع أي خوارزمية حلها
3.هياكل البياناتمتوسطة

شبكة طرق فيها 100,000 تقاطع، يتصل كل منها بنحو 4 تقاطعات أخرى. أي تمثيل هو الأنسب؟

  1. Aكومة ثنائية من الحواف
  2. Bمصفوفة واحدة مرتبة من الرؤوس
  3. Cمصفوفة التجاور
  4. Dقائمة التجاور
4.هياكل البياناتصعبة

ما التكلفة المستهلكة (amortised) لكل عملية في بنية union-find (المجموعات المنفصلة) مع الدمج حسب الرتبة وضغط المسار؟

  1. AO(n²)
  2. BO(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
  3. CO(n)
  4. DO(log n) بالضبط
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 2 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 32 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
20121597261016113ABCDEFG

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس F. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 6.

البداية: Fk = 6
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة GB
  9. 9الحافة GC
  10. 10الحافة GD
  11. 11الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(V × E)

لماذا هذه هي الإجابة

في كل جولة من الجولات V − 1 تُرخى كل الحواف E، فيكون التعقيد O(VE)، وفي المقابل تتعامل مع أوزان الحواف السالبة.

الإجابة

D · O(V × E)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · مسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة

لماذا هذه هي الإجابة

في مسألة NP يمكن التحقق بسرعة من حل مقترح (شهادة)، مثل التحقق من أن تعيينًا معطى يحقق صيغة بوليانية.

الإجابة

B · مسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · قائمة التجاور

لماذا هذه هي الإجابة

ستحتاج المصفوفة إلى 1010 خلية، كلها تقريبًا فارغة، أما قائمة التجاور فلا تخزّن إلا نحو 400,000 مدخل للحواف.

الإجابة

D · قائمة التجاور
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع كلا التحسينين تستغرق العمليات زمنًا مستهلكًا قدره O(α(n))، وα(n) ≤ 4 لأي قيمة واقعية لـ n.

الإجابة

B · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 15

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 31 = 2(L + 9) − 2
L = 15

الإجابة

L = 15

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة AC

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. DF (2)
2. EF (6)
3. GE (3)
4. CE (9)
5. GB (10)
6. AC (12)

رقم الحافة 6

AC

الإجابة

الحافة AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms