هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(n)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تُظهر مسألة التوقف أنه:

  1. Aلا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف
  2. Bبعض البرامج تعمل أسرع على حواسيب أسرع، فيعتمد التوقف على العتاد
  3. Cيجب تجنب الحلقات
  4. Dكل برنامج يتوقف في النهاية
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي نوع بيانات مجرد تستخدمه خوارزمية Dijkstra لاختيار الرأس التالي للمعالجة؟

  1. Aطابور FIFO
  2. Bمجموعة بلا ترتيب
  3. Cمكدس
  4. Dطابور أولويات صغرى
4.هياكل البياناتصعبة

ما كلفة الزمن والمساحة الإضافية لعكس قائمة مترابطة أحادية في مكانها؟

  1. Aزمن O(n) ومساحة إضافية O(n)
  2. Bزمن O(n log n) ومساحة إضافية O(1)
  3. Cزمن O(1) ومساحة إضافية O(1)
  4. Dزمن O(n) ومساحة إضافية O(1)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
15911132212151179ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 5؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يبلغ مجموع العمل نحو n² / 2، وهذه علاقة تكرار الفرز بالاختيار أو الفرز السريع مع أسوأ محور.

الإجابة

D · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · لا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف

لماذا هذه هي الإجابة

أثبت تورنغ أن مسألة التوقف غير قابلة للحسم: افتراض وجود خوارزمية حاسمة يؤدي إلى تناقض مع برنامج يفعل عكس ما تتنبأ به.

الإجابة

A · لا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · طابور أولويات صغرى

لماذا هذه هي الإجابة

يُرجع طابور الأولويات الصغرى، وهو عادةً كومة ثنائية، الرأس غير المزور ذا المسافة الأصغر بكفاءة.

الإجابة

D · طابور أولويات صغرى
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · زمن O(n) ومساحة إضافية O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

الاحتفاظ بثلاثة مؤشرات (السابق، والحالي، والتالي) يتيح عكس كل رابط في مرور واحد دون حجز عقد جديدة.

الإجابة

D · زمن O(n) ومساحة إضافية O(1)
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2, deg(F) = 1

الرؤوس الفردية

B, C, D, F → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 15, C: 9
2. C (9): E: 22, G: 20
3. B (15)
4. G (20): D: 27
5. E (22): D: 24, F: 34
6. D (24): F: 26
7. F (26)

الجولة 5

E

الإجابة

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms