هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يقيس التحليل المستهلَك (amortised)؟

  1. Aكلفة أغلى عملية منفردة في أي موضع من السلسلة
  2. Bالكلفة المتوقعة على مدخلات عشوائية
  3. Cكلفة الخوارزمية على أفضل مدخل
  4. Dمتوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما التعقيد الزمني لبناء كومة ثنائية من n عنصر غير مرتب بالطريقة التصاعدية (bottom-up)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تعمل عملية استخراج الأصغر (extract-min) في كومة ثنائية صغرى؟

  1. Aيُزال الجذر وتُزاح كل العناصر موضعًا واحدًا إلى اليسار
  2. Bيُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
  3. Cيُبحث في كل الأوراق عن الأصغر الجديد
  4. Dيُزال العنصر الأخير من المصفوفة
4.هياكل البياناتصعبة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، لماذا يُنفَّذ الحذف غالبًا باستخدام علامة "شاهد القبر" (tombstone)؟

  1. Aإفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
  2. Bتجعل الجدول مرتبًا
  3. Cشواهد القبور تسرّع التجزئة
  4. Dيجب الاحتفاظ بالمفاتيح المحذوفة إلى الأبد لأسباب أمنية، فلا يعاد استخدام الخانات أبدًا
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
715101614413ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات

لماذا هذه هي الإجابة

يوزع التحليل المستهلَك كلفة العمليات الغالية النادرة على كثير من العمليات الرخيصة، فيعطي متوسطًا مضمونًا لأي سلسلة.

الإجابة

D · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

جمع كلفة الإنزال (sift-down) عبر المستويات يعطي متسلسلة متقاربة، لذا يعمل بناء الكومة (heapify) في زمن خطي.

الإجابة

D · O(n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل

لماذا هذه هي الإجابة

يملأ العنصر الأخير الفراغ في الجذر ويُبدَّل مع ابنه الأصغر حتى تتحقق خاصية الكومة، ويستغرق ذلك O(log n).

الإجابة

B · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى

لماذا هذه هي الإجابة

لو أصبحت الخانة المحذوفة فارغة، فقد تتوقف عمليات البحث اللاحقة مبكرًا وتفوّت مفاتيح وُضعت أبعد في سلسلة السبر.

الإجابة

A · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 1

الرؤوس الفردية

B, C, F, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 12

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 7, C: 15
B (7): D: 8
D (8): E: 22, F: 12
F (12)
C (15): E: 21
E (21)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 12

الإجابة

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms