هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بجدول تصاعدي (من الأسفل إلى الأعلى)؟

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يعمل الفرز بالإدراج في O(n) على المدخلات المرتبة. هل يناقض هذا الحد الأدنى Ω(n log n) للفرز بالمقارنة؟

  1. Aنعم، فالحد الأدنى خاطئ إذن
  2. Bلا، لأن الفرز بالإدراج ليس فرزًا بالمقارنة
  3. Cلا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
  4. Dنعم، لكن فقط للمصفوفات الأقصر من 100
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي نوع بيانات مجرد تستخدمه خوارزمية Dijkstra لاختيار الرأس التالي للمعالجة؟

  1. Aمجموعة بلا ترتيب
  2. Bطابور FIFO
  3. Cطابور أولويات صغرى
  4. Dمكدس
4.هياكل البياناتصعبة

يمكن لمرشّح بلوم (Bloom filter) الإجابة عن سؤال "هل هذا العنصر في المجموعة؟":

  1. Aمع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
  2. Bمع احتمال سلبيات كاذبة دون إيجابيات كاذبة
  3. Cللأعداد فقط
  4. Dبإجابات دقيقة دائمًا
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
68192554159ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

يستغرق ملء الجدول من 0 إلى n عملية جمع واحدة لكل مدخل، فيكون العمل خطيًا بدلًا من أسّي.

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل

لماذا هذه هي الإجابة

يقول الحد إن كل فرز بالمقارنة يحتاج إلى نحو n log n مقارنة على مدخل ما من الحجم n، والمدخلات الخاصة قد تكون أسرع بكثير.

الإجابة

C · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · طابور أولويات صغرى

لماذا هذه هي الإجابة

يُرجع طابور الأولويات الصغرى، وهو عادةً كومة ثنائية، الرأس غير المزور ذا المسافة الأصغر بكفاءة.

الإجابة

C · طابور أولويات صغرى
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان أي بت خاص بالعنصر يساوي 0 فهو غير موجود قطعًا، وإذا كانت جميعها 1 فهو موجود على الأرجح. تقايض مرشّحات بلوم الدقة مقابل ذاكرة ضئيلة جدًا.

الإجابة

A · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 21

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 6, C: 8
B (6): C: 7, G: 10
C (7): E: 16
G (10): D: 19
E (16): D: 18, F: 21
D (18)
F (21)

أقصر مسار

A → B → C → E → F
d(F) = 21

الإجابة

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms