هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا يُحذف أساس اللوغاريتم عادةً في O الكبير، كما في O(log n)؟

  1. Aلأن الأساس لا يهم إلا عندما تكون n صغيرة
  2. Bلأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت
  3. Cكل اللوغاريتمات في علوم الحاسوب أساسها 10، فهو مفهوم ضمنًا
  4. Dلأن اللوغاريتمات تُقرَّب دائمًا إلى أعداد صحيحة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُقارَن n! و2ⁿ عندما تكون n كبيرة؟

  1. Aتنموان بالمعدل نفسه
  2. B2ⁿ تنمو أسرع من n!
  3. Cn! هي O(n²)
  4. Dn! تنمو أسرع من 2ⁿ
3.هياكل البياناتمتوسطة

يحتاج تطبيق إلى بحث سريع، وإلى سرد المفاتيح مرتبة والإجابة عن استعلامات المدى. أي بنية هي الأنسب؟

  1. Aجدول تجزئة
  2. Bشجرة بحث ثنائية متوازنة
  3. Cمكدس
  4. Dقائمة مترابطة غير مرتبة
4.هياكل البياناتصعبة

ما زمن تنفيذ البحث بالعرض أولًا على مخطط فيه V رأسًا مخزّن بمصفوفة تجاور؟

  1. AO(V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(E log V)
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K8؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K8
H =
6.نظرية البياناتصعبة
61214769911ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت

لماذا هذه هي الإجابة

تغيير الأساس يضرب اللوغاريتم في ثابت، وO الكبير يتجاهل المعاملات الثابتة.

الإجابة

B · لأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · n! تنمو أسرع من 2ⁿ

لماذا هذه هي الإجابة

عندما n ≥ 4 تتجاوز n! قيمة 2ⁿ، وتنمو النسبة بلا حد لأن كل عامل إضافي في n! أكبر من 2.

الإجابة

D · n! تنمو أسرع من 2ⁿ
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · شجرة بحث ثنائية متوازنة

لماذا هذه هي الإجابة

تعطي شجرة البحث المتوازنة بحثًا في O(log n) وتُبقي المفاتيح مرتبة، فيسهل الاجتياز الوسطي واستعلامات المدى، أما جدول التجزئة فيبعثر المفاتيح.

الإجابة

B · شجرة بحث ثنائية متوازنة
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

يمسح كل رأس من الرؤوس V صفًا من V مدخلًا، فيكون الزمن O(V²)، ومع قوائم التجاور يكون BFS في O(V + E).

الإجابة

C · O(V²)
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 2520

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

الإجابة

H = 2520
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 22

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 6, C: 12
B (6): D: 13
C (12): E: 18
D (13): F: 22
E (18)
F (22)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 22

الإجابة

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms