هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يعني أن لمسألة بنية فرعية مثلى؟

  1. Aأنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
  2. Bأن للمسألة حلًا أمثل واحدًا بالضبط تشترك فيه كل مسألة فرعية
  3. Cأنه يمكن حل المسألة في زمن ثابت
  4. Dأن لكل المسائل الفرعية الحجم نفسه
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الفرق بين مسألة غير قابلة للحسم ومسألة غير قابلة للمعالجة؟

  1. Aالمسائل غير القابلة للمعالجة لا تحلها أي خوارزمية، أما غير القابلة للحسم فتحتاج فقط إلى زمن أسّي
  2. Bكلاهما يعني أن المسألة ليس لها خوارزمية إطلاقًا
  3. Cالمسائل غير القابلة للحسم في NP، والمسائل غير القابلة للمعالجة في P
  4. Dالمسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يكون اجتياز مصفوفة عمليًا أسرع غالبًا بكثير من اجتياز قائمة مترابطة بالطول نفسه؟

  1. Aلأن القوائم المترابطة تخزّن العناصر على القرص دائمًا
  2. Bلأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
  3. Cلأن المصفوفات تستخدم تعليمات أقل لمقارنة القيم
  4. Dلأن اجتياز المصفوفة O(1) في المجموع، بينما اجتياز القائمة المترابطة O(n)
4.هياكل البياناتصعبة

أُدرجت المفاتيح 5، 3، 8، 1 بهذا الترتيب في كومة ثنائية صغرى فارغة قائمة على مصفوفة. ما المصفوفة النهائية؟

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K7؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K7
H =
6.نظرية البياناتصعبة
11514312131094210ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية

لماذا هذه هي الإجابة

البنية الفرعية المثلى شرط لكي تعطي الخوارزميات الجشعة والبرمجة الديناميكية إجابات صحيحة.

الإجابة

A · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · المسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

ليس لمسألة التوقف أي خوارزمية إطلاقًا، أما مسألة NP-صعبة مثل TSP فيمكن حلها بالقوة الغاشمة، لكن ليس في زمن كثير حدود معروف.

الإجابة

D · المسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج

لماذا هذه هي الإجابة

الذاكرة المتجاورة تعطي محلية مرجعية جيدة، بينما قد تكون العقد المترابطة متفرقة فتسبب إخفاقات كثيرة في الـ cache.

الإجابة

B · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · [1, 3, 8, 5]

لماذا هذه هي الإجابة

بعد 5 و3 و8 تكون المصفوفة [3, 5, 8]، ويذهب 1 إلى الفهرس 3، فيُبدَّل مع أبيه 5 ثم مع 3، فتصبح [1, 3, 8, 5].

الإجابة

B · [1, 3, 8, 5]
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 360

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

الإجابة

H = 360
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 14

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 1, C: 15
B (1): D: 4
D (4): E: 17, F: 14, G: 6
G (6): C: 10, E: 16
C (10)
F (14)
E (16)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 14

الإجابة

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms