هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يقيس التحليل المستهلَك (amortised)؟

  1. Aكلفة أغلى عملية منفردة في أي موضع من السلسلة
  2. Bكلفة الخوارزمية على أفضل مدخل
  3. Cمتوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
  4. Dالكلفة المتوقعة على مدخلات عشوائية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يحقق ضرب كاراتسوبا T(n) = 3T(n/2) + O(n). ما حل هذه العلاقة؟

  1. AΘ(nlog₂ 3)، أي نحو n1,585
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما قيمة التعبير اللاحق (postfix) 3 4 + 2 *؟

  1. A10
  2. B24
  3. C14
  4. D11
4.هياكل البياناتصعبة

يُحذف عادةً عقدة لها ابنان من شجرة بحث ثنائية عن طريق:

  1. Aإزالة الشجرة الفرعية بأكملها
  2. Bاستبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
  3. Cمبادلتها مع الجذر
  4. Dإعادة بناء الشجرة الفرعية تحتها من الصفر وإعادة إدراج كل مفتاح كانت تحتويه
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K6؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K6
H =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند C؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات

لماذا هذه هي الإجابة

يوزع التحليل المستهلَك كلفة العمليات الغالية النادرة على كثير من العمليات الرخيصة، فيعطي متوسطًا مضمونًا لأي سلسلة.

الإجابة

C · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · Θ(nlog₂ 3)، أي نحو n1,585

لماذا هذه هي الإجابة

بما أن log₂ 3 ≈ 1,585 > 1 فإن الأوراق تهيمن وفق النظرية الرئيسية، فيتفوق على طريقة الضرب المدرسية O(n²).

الإجابة

A · Θ(nlog₂ 3)، أي نحو n1,585
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 14

لماذا هذه هي الإجابة

ادفع 3 و4، فيعطي + القيمة 7، ثم ادفع 2، فيعطي * القيمة 7 × 2 = 14.

الإجابة

C · 14
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

للخلف في الترتيب الداخلي ابن واحد على الأكثر، لذا يمكن إزالته بسهولة بعد نسخ مفتاحه إلى العقدة المراد حذفها.

الإجابة

B · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 60

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

الإجابة

H = 60
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 0 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

الإجابة

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms