هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مصفوفة مرتبة تبحث عن عنصرين مجموعهما يساوي هدفًا بتحريك مؤشر من كل طرف نحو الداخل. ما التعقيد الزمني؟

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

باستخدام المبرهنة الرئيسية (master theorem)، حل T(n) = 8T(n/2) + O(n²) هو:

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n log n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، ما أقصى معامل تحميل ممكن؟

  1. A2
  2. Bلا يوجد حد أقصى
  3. C0,5
  4. D1
4.هياكل البياناتصعبة

أي زوج من الاجتيازات يحدد دائمًا شجرة ثنائية فريدة ذات مفاتيح متمايزة؟

  1. Aالقبلي والوسطي
  2. Bالقبلي والبعدي
  3. Cالقبلي وحده
  4. Dمستوى بعد مستوى وحده
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 13 رؤوس و13 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 13|E| = 13
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا (walk) بطول 3 يذهب من F إلى A؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان المجموع صغيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيسر يمينًا، وإذا كان كبيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيمن يسارًا، فيكون هناك n خطوة على الأكثر.

الإجابة

B · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · Θ(n³)

لماذا هذه هي الإجابة

log₂ 8 = 3، و n² تنمو أبطأ من n³، لذا تهيمن الأوراق: Θ(n³).

الإجابة

C · Θ(n³)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · 1

لماذا هذه هي الإجابة

في العنونة المفتوحة تُخزَّن كل المفاتيح في الجدول نفسه، فلا يمكن أن تتجاوز n قيمة m، أما التسلسل المنفصل فقد يكون معامل تحميله أكبر من 1.

الإجابة

D · 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · القبلي والوسطي

لماذا هذه هي الإجابة

يعطي الاجتياز القبلي الجذر، وموضعه في المتتالية الوسطية يفصل الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى، أما القبلي مع البعدي فملتبس حين يكون للعقدة ابن واحد.

الإجابة

A · القبلي والوسطي
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 1

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

13 − 1 = 12

الحواف المراد حذفها

k = 13 − 12 = 1

الإجابة

k = 1
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

خطوة إضافية

(M³)FA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·0 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms