هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني المُطفأ (amortised) لإضافة عنصر إلى نهاية مصفوفة ديناميكية تضاعف سعتها عند امتلائها؟

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا سيترتب لو وجد أحدهم خوارزمية كثيرة حدود لمسألة NP-تامة واحدة؟

  1. Aتصبح كل الخوارزميات ذات الزمن الأسّي خطية فورًا
  2. Bتصبح مسألة التوقف قابلة للحسم
  3. Cيمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
  4. Dتنتقل تلك المسألة وحدها إلى P
3.هياكل البياناتمتوسطة

لشجرة ثنائية جذرها 1، وابنه الأيسر 2 والأيمن 3، وللعقدة 2 ابنان 4 (أيسر) و5 (أيمن). ما الاجتياز البعدي؟

  1. A5 4 3 2 1
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.هياكل البياناتصعبة

أي مشكلة من مشكلات التقصّي الخطي تقللها التجزئة المزدوجة أساسًا؟

  1. Aالحاجة إلى تخزين المفاتيح في الجدول
  2. Bالحاجة إلى دالة تجزئة
  3. Cالتكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة
  4. Dكلفة O(n) لقراءة قيمة مفتاح
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K8؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K8
H =
6.نظرية البياناتصعبة
391011211111181ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 3؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يحدث نسخ جميع العناصر فقط عند قوى العدد اثنين؛ وعند توزيع هذه الكلفة على جميع الإضافات تكون الكلفة المتوسطة لكل إضافة ثابتة.

الإجابة

B · O(1)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP

لماذا هذه هي الإجابة

بما أن كل NP تُختزل إلى أي مسألة NP-تامة في زمن كثير حدود، فإن خوارزمية سريعة لواحدة تعطي خوارزمية سريعة للجميع.

الإجابة

C · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · 4 5 2 3 1

لماذا هذه هي الإجابة

يعالج الاجتياز البعدي 4 و5 قبل 2، ثم 3، وأخيرًا الجذر 1.

الإجابة

B · 4 5 2 3 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · التكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة

لماذا هذه هي الإجابة

يتقدم التقصّي الخطي بخطوة 1، فتنمو السلاسل المشغولة وتندمج، أما التجزئة المزدوجة فتستخدم دالة ثانية لحجم الخطوة، فتتقصى المفاتيح المختلفة متتاليات مختلفة.

الإجابة

C · التكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 2520

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

الإجابة

H = 2520
6.نظرية البيانات

الإجابة: C

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 3, C: 9
2. B (3): G: 14
3. C (9): E: 10
4. E (10): D: 22, F: 21, G: 11
5. G (11)
6. F (21)
7. D (22)

الجولة 3

C

الإجابة

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms