هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا تحسب خوارزمية Floyd–Warshall، وبأي سرعة؟

  1. Aأقصر المسارات من رأس مصدر واحد إلى سائر الرؤوس في O(V + E)
  2. Bأقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
  3. Cشجرة امتداد صغرى في O(E log V)
  4. Dترتيبًا طوبولوجيًا في O(V²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُقارَن n! و2ⁿ عندما تكون n كبيرة؟

  1. A2ⁿ تنمو أسرع من n!
  2. Bتنموان بالمعدل نفسه
  3. Cn! تنمو أسرع من 2ⁿ
  4. Dn! هي O(n²)
3.هياكل البياناتمتوسطة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، ما أقصى معامل تحميل ممكن؟

  1. A1
  2. B2
  3. C0,5
  4. Dلا يوجد حد أقصى
4.هياكل البياناتصعبة

ما زمن تنفيذ البحث بالعرض أولًا على مخطط فيه V رأسًا مخزّن بمصفوفة تجاور؟

  1. AO(V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
71315726912ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)

لماذا هذه هي الإجابة

Floyd–Warshall خوارزمية برمجة ديناميكية تسمح لكل رأس بدوره أن يكون نقطة وسيطة، مستخدمةً زمن O(V³).

الإجابة

B · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · n! تنمو أسرع من 2ⁿ

لماذا هذه هي الإجابة

عندما n ≥ 4 تتجاوز n! قيمة 2ⁿ، وتنمو النسبة بلا حد لأن كل عامل إضافي في n! أكبر من 2.

الإجابة

C · n! تنمو أسرع من 2ⁿ
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 1

لماذا هذه هي الإجابة

في العنونة المفتوحة تُخزَّن كل المفاتيح في الجدول نفسه، فلا يمكن أن تتجاوز n قيمة m، أما التسلسل المنفصل فقد يكون معامل تحميله أكبر من 1.

الإجابة

A · 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

يمسح كل رأس من الرؤوس V صفًا من V مدخلًا، فيكون الزمن O(V²)، ومع قوائم التجاور يكون BFS في O(V + E).

الإجابة

B · O(V²)
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

الرؤوس الفردية

B, C, D, E, F, G → 6
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 27

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 7, C: 13
B (7): E: 19
C (13)
E (19): D: 21, F: 28
D (21): F: 27
F (27)

أقصر مسار

A → B → E → D → F
d(F) = 27

الإجابة

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms