هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يستخدم فرز سريع العنصر الأول محورًا دائمًا. على أي مدخل يُظهر سلوك أسوأ الحالات؟

  1. Aمصفوفة بترتيب عشوائي
  2. Bمصفوفة طولها 2
  3. Cمصفوفة عناصرها كلها مختلفة
  4. Dمصفوفة مرتبة مسبقًا
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة المستهلَكة لزيادة عدّاد ثنائي بمقدار واحد، علمًا بأن زيادة واحدة قد تقلب بتات كثيرة؟

  1. AO(log n) لكل زيادة
  2. BO(n) لكل زيادة
  3. CO(1) لكل زيادة
  4. DO(n log n) لكل زيادة
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تعمل عملية استخراج الأصغر (extract-min) في كومة ثنائية صغرى؟

  1. Aيُزال الجذر وتُزاح كل العناصر موضعًا واحدًا إلى اليسار
  2. Bيُزال العنصر الأخير من المصفوفة
  3. Cيُبحث في كل الأوراق عن الأصغر الجديد
  4. Dيُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
4.هياكل البياناتصعبة

تزيل خوارزمية Kahn للفرز الطوبولوجي مرارًا الرؤوس ذات درجة الدخول 0. أي بنية تحفظ تلك الرؤوس؟

  1. Aطابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
  2. Bمكدس لكل الحواف المزورة
  3. Cكومة عظمى مرتبة بحسب درجة الخروج
  4. Dمصفوفة تجاور تسجّل الرؤوس التي أُزيلت بالفعل
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 3 يبدأ وينتهي عند B؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · مصفوفة مرتبة مسبقًا

لماذا هذه هي الإجابة

في المدخلات المرتبة يكون المحور دائمًا الأصغر، فيكون أحد الجانبين فارغًا والآخر فيه n − 1 عنصر، فيكون التعقيد O(n²).

الإجابة

D · مصفوفة مرتبة مسبقًا
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(1) لكل زيادة

لماذا هذه هي الإجابة

على مدى n زيادة ينقلب البت i نحو n / 2ⁱ مرة، فيكون المجموع أقل من 2n قلبًا، أي متوسط O(1) لكل زيادة.

الإجابة

C · O(1) لكل زيادة
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل

لماذا هذه هي الإجابة

يملأ العنصر الأخير الفراغ في الجذر ويُبدَّل مع ابنه الأصغر حتى تتحقق خاصية الكومة، ويستغرق ذلك O(log n).

الإجابة

D · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0

لماذا هذه هي الإجابة

تُحفظ الرؤوس الجاهزة في طابور، وإزالة أحدها تخفض درجات دخول جيرانه، ويُضاف كل ما يبلغ 0، فيكون الزمن O(V + E).

الإجابة

A · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

B, C → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 6

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

خطوة إضافية

(M³)BB = 1·1 + 4·0 + 2·1 + 1·1 + 2·1 = 6

الإجابة

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms