هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي خوارزمية فرز مستقرة؟

  1. Aالفرز بالكومة
  2. Bالفرز السريع (النسخة الموضعية المعتادة)
  3. Cالفرز بالاختيار (النسخة المعتادة)
  4. Dالفرز بالدمج
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة عن ترميز o الصغير صحيحة؟

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²)، لكن n ليست o(n)
  3. C2n = o(n)، لأن 2n تنمو ببطء
  4. Dn = o(n)، لأن كل دالة هي o صغير لنفسها
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي طريقة لحل التصادمات تخزّن المفاتيح المتصادمة في قائمة داخل الدلو نفسه؟

  1. Aالسبر التربيعي
  2. Bالتسلسل المنفصل (separate chaining)
  3. Cالسبر الخطي
  4. Dالتجزئة المزدوجة
4.هياكل البياناتصعبة

أي مشكلة من مشكلات التقصّي الخطي تقللها التجزئة المزدوجة أساسًا؟

  1. Aكلفة O(n) لقراءة قيمة مفتاح
  2. Bالحاجة إلى تخزين المفاتيح في الجدول
  3. Cالحاجة إلى دالة تجزئة
  4. Dالتكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K5؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K5
H =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا (walk) بطول 3 يذهب من F إلى B؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · الفرز بالدمج

لماذا هذه هي الإجابة

يكون الفرز بالدمج مستقرًا إذا أخذ الدمج من النصف الأيسر أولًا عند التساوي. أما الفرز السريع الموضعي والفرز بالكومة والفرز بالاختيار فعادةً ليست مستقرة.

الإجابة

D · الفرز بالدمج
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · n = o(n²)، لكن n ليست o(n)

لماذا هذه هي الإجابة

f = o(g) تعني أن f(n) / g(n) تؤول إلى 0، وn / n² تؤول إلى 0، لكن n / n = 1 لا تؤول إليه.

الإجابة

B · n = o(n²)، لكن n ليست o(n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · التسلسل المنفصل (separate chaining)

لماذا هذه هي الإجابة

يحتفظ التسلسل بقائمة مترابطة (أو بنية أخرى) لكل دلو، بينما تبحث العنونة المفتوحة عن خانة فارغة أخرى داخل الجدول نفسه.

الإجابة

B · التسلسل المنفصل (separate chaining)
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · التكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة

لماذا هذه هي الإجابة

يتقدم التقصّي الخطي بخطوة 1، فتنمو السلاسل المشغولة وتندمج، أما التجزئة المزدوجة فتستخدم دالة ثانية لحجم الخطوة، فتتقصى المفاتيح المختلفة متتاليات مختلفة.

الإجابة

D · التكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

خطوة إضافية

(M³)FB = 0·0 + 1·0 + 1·1 + 1·0 + 1·1 + 2·0 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms