المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 87 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 19 min.

T₀ = 87 °CT_a = 22 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 19 min

T = °C

2.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = x² لـ x > 0، مع y(1) = −1. أوجد y(3).

y′ + y/x = x²y(1) = −1

y(3) =

3.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁³ 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 3]

I =

4.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 3x والقطع المكافئ y = x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 3xy = x²

V =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = (−2x + 1)⁵. أوجد f′(2).

f(x) = (−2x + 1)⁵x = 2

f′(2) =

6.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 13,5x² + 54x + 2. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x³ − 13,5x² + 54x + 2

x =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

تُستخدم قاعدة شبه المنحرف لحساب ∫₀² eˣ dx. الخطأ على الأكثر (b − a)³·M/(12n²) مع M = max|f″| على [0, 2]. جد أصغر عدد شرائح n يضمن خطأً أقل من 0,0005.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005

n =

8.الطرائق العدديةصعبة

نفّذ خطوة واحدة بطريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) مع h = 0,2 للمسألة y′ = e^−ty، y(0) = 0. جد y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,2

y₁ =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 52,4 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 22 + 65·e^−0,04t

عوّض t

T(19) = 22 + 65·0,4677 = 52,4 °C

الإجابة

T = 52,4 °C

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(3) = 6,333

عامل التكامل

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

كامل

(x¹y)′ = x³ → x¹y = 1x⁴/4 + C

الشرط الابتدائي

−1 = 1/4 + C → C = −1,25

احسب

y(3) = (1·3⁴/4 + (−1,25))/3¹ = 6,333

الإجابة

y(3) = 6,333

3.التكاملات

الإجابة: I = 2,197

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = 2·ln x

عوّض الحدود

I = 2·(ln 3 − ln 1) = 2·ln 3 = 2,197

الإجابة

I = 2,197

4.التكاملات

الإجابة: V = 101,8

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

3x = 1x² → x = 0, x = 3

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀³ ((3x)² − (1x²)²) dx

كامل

V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32,4 = 101,8

الإجابة

V = 101,8

5.المشتقات

الإجابة: f′(2) = −810

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة

f′(x) = 5·(−2x + 1)⁴·(−2)

عوّض

f′(2) = 5·(−3)⁴·(−2) = −810

الإجابة

f′(2) = −810

6.المشتقات

الإجابة: x = 3

المشتقة

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

حُلّ f′(x) = 0

x = 3 أو x = 6

أيهما أي

f″(x) = 6x − 27: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 3

الإجابة

x = 3

7.الطرائق العددية

الإجابة: n = 100

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

حد المشتقة الثانية

M = e² = 7,389

حُلّ لإيجاد n

n² > 8·7,389/(12·0,0005) = 9852

n > 99,26 → n = 100

الإجابة

n = 100

8.الطرائق العددية

الإجابة: y₁ = 0,1974

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

أربعة ميول

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,1, 0,1) = 0,99005

k₃ = f(0,1, 0,099005) = 0,990148

k₄ = f(0,2, 0,19803) = 0,961168

ادمج

y₁ = 0 + (0,2/6)(1 + 2·0,99005 + 2·0,990148 + 0,961168) = 0,1974

الإجابة

y₁ = 0,1974

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations