المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 86 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 24 min.

T₀ = 86 °CT_a = 22 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 24 min

T = °C

2.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 100 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 23 kg من الملح؟

V = 100 Lm₀ = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min

t = min

3.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀³ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 3]

I =

4.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 0,5x² و y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = (2x + 1)⁵. أوجد f′(2).

f(x) = (2x + 1)⁵x = 2

f′(2) =

6.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 0,5x² + 3x + 3 عند x = 3 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 0,5x² + 3x + 3x = 3

b =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

تُقاس سرعة مركبة كل 10 s (جدول). قدّر المسافة s المقطوعة من t = 0 إلى t = 40 s بقاعدة سيمبسون.

h = 10 sn = 4

s = m

8.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,2 للمسألة y′ = 1 + sin(ty)، y(0) = 1 لتقدير y₂ ≈ y(0,4).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,2

y₂ =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 41,28 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 22 + 64·e^−0,05t

عوّض t

T(24) = 22 + 64·0,3012 = 41,28 °C

الإجابة

T = 41,28 °C

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 9,163 min

النتيجة

m(t) = 25 + (−5)·e^−t/10

حلّ لإيجاد t

e^−t/10 = (25 − 23)/(25 − 20) = 0,4

t = 10·ln(2,5) = 9,163 min

الإجابة

t = 9,163 min

3.التكاملات

الإجابة: I = 201,2

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^2x/2

عوّض الحدود

I = (e⁶ − 1)/2 = (403,4 − 1)/2 = 201,2

الإجابة

I = 201,2

4.التكاملات

الإجابة: A = 5,333

نقاط التقاطع

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

الإجابة

A = 5,333

5.المشتقات

الإجابة: f′(2) = 6250

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة

f′(x) = 5·(2x + 1)⁴·2

عوّض

f′(2) = 5·5⁴·2 = 6250

الإجابة

f′(2) = 6250

6.المشتقات

الإجابة: b = −1,5

النقطة والميل

f(3) = 16,5

f′(x) = x + 3 → f′(3) = 6

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 16,5 − 6·3 = −1,5

الإجابة

b = −1,5

7.الطرائق العددية

الإجابة: s = 116,7 m

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

المجموع الموزون

0 + 4·4 + 2·2 + 4·2 + 7 = 35

قاعدة سيمبسون

s = (10/3)·35 = 116,7 m

الإجابة

s = 116,7 m

8.الطرائق العددية

الإجابة: y₂ = 1,504

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات هوين

y₁ = 1 + (0,2/2)(1 + 1,237703) = 1,22377

y₂ = 1,22377 + (0,2/2)(1,242318 + 1,555441) = 1,503546

الرسم البياني

y₂ = 1,504

الإجابة

y₂ = 1,504

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations