المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 38 min.

T₀ = 340 °CT_a = 21 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 38 min

T = °C

2.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y′ + 2y = 8e^−3t مع y(0) = 4. أوجد y(1,5).

y′ + 2y = 8e^−3ty(0) = 4

y(1.5) =

3.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

4.التكاملاتصعبة

احسب I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x³·e^x. أوجد f′(2).

f(x) = x³·e^xx = 2

f′(2) =

6.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 3x + 6. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x³ − 3x + 6

x =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀¹ 1/(1 + x³) dx بقاعدة شبه المنحرف باستخدام n = 3 شريحة. أعطِ T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 3

T =

8.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة أويلر مع h = 0,2 للمسألة y′ = t² + y²، y(0) = 0,5 لتقدير y₃ ≈ y(0,6).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,2

y₃ =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 123 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 21 + 319·e^−0,03t

عوّض t

T(38) = 21 + 319·0,3198 = 123 °C

الإجابة

T = 123 °C

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1.5) = 0,5086

عامل التكامل

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 8e^−t

الحل العام

y = 8/(−1)·e^−3t + C·e^−2t = −8·e^−3t + C·e^−2t

الشرط الابتدائي

4 = −8 + C → C = 12

احسب

y(1,5) = −8·0,01111 + 12·0,04979 = 0,5086

الإجابة

y(1,5) = 0,5086

3.التكاملات

الإجابة: I = 14,12

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

الإجابة

I = 14,12

4.التكاملات

الإجابة: I = 0,0609

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

الإجابة

I = 0,0609

5.المشتقات

الإجابة: f′(2) = 147,8

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة الضرب

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

عوّض

f′(2) = 7,389·(12 + 8) = 147,8

الإجابة

f′(2) = 147,8

6.المشتقات

الإجابة: x = 1

المشتقة

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

حُلّ f′(x) = 0

x = −1 أو x = 1

أيهما أي

f″(x) = 6x: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = 1

الإجابة

x = 1

7.الطرائق العددية

الإجابة: T = 0,8286

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

العقد والقيم

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,964286 + 2·0,771429 + 0,5 = 4,971429

قاعدة شبه المنحرف

T = (0,3333/2)·4,971429 = 0,8286

الإجابة

T = 0,8286

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

8.الطرائق العددية

الإجابة: y₃ = 0,727

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₁ = 0,5 + 0,2·(0,25) = 0,55

y₂ = 0,55 + 0,2·(0,3425) = 0,6185

y₃ = 0,6185 + 0,2·(0,542542) = 0,727008

الرسم البياني

y₃ = 0,727

الإجابة

y₃ = 0,727

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations