المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 81 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. بعد 23 min تكون درجة حرارتها 34 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.

T₀ = 81 °CT_a = 22 °CT(23) = 34 °C

k = min⁻¹

2.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 4y′ + 13y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1) =

3.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = 0,5x من x = 0 إلى x = 3 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

V =

4.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = x والقطع المكافئ y = 0,5x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = xy = 0,5x²

V =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x·sin(2x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

6.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = x² − 5x + 1 عند x = 3 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = x² − 5x + 1x = 3

b =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

تُقاس سرعة مركبة كل 2 s (جدول). قدّر المسافة s المقطوعة من t = 0 إلى t = 10 s بقاعدة شبه المنحرف.

h = 2 sn = 5

s = m

8.الطرائق العدديةصعبة

نفّذ خطوة واحدة بطريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) مع h = 0,2 للمسألة y′ = 1 + sin(ty)، y(0) = 1. جد y₁ ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,2

y₁ =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: k = 0,06924 min⁻¹

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

نسبة فروق درجات الحرارة

e^−23k = 12/59

حلّ لإيجاد k

k = ln(59/12)/23 = 0,06924 min⁻¹

الإجابة

k = 0,06924 min⁻¹

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = −0,1212

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المركّبة

r = −2 ± 3j

الثوابت

A = 1, B = 2·1/3 = 0,6667

احسب

y(1) = e⁻²(1·cos 3 + 0,6667·sin 3) = −0,1212

الإجابة

y(1) = −0,1212

3.التكاملات

الإجابة: V = 7,069

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀³ 0,25x² dx

كامل

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

الإجابة

V = 7,069

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 1,5 وارتفاعه 3 الحجم (1/3)πr²h = 7,069.

4.التكاملات

الإجابة: V = 3,351

نقاط التقاطع

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀² ((1x)² − (0,5x²)²) dx

كامل

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

الإجابة

V = 3,351

5.المشتقات

الإجابة: f′(1) = 0,077

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

عوّض

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

الإجابة

f′(1) = 0,077

6.المشتقات

الإجابة: b = −8

النقطة والميل

f(3) = −5

f′(x) = 2x − 5 → f′(3) = 1

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − 1·3 = −8

الإجابة

b = −8

7.الطرائق العددية

الإجابة: s = 67 m

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

المجموع الموزون

4 + 2·5 + 2·6 + 2·7 + 2·9 + 9 = 67

قاعدة شبه المنحرف

s = (2/2)·67 = 67 m

الإجابة

s = 67 m

8.الطرائق العددية

الإجابة: y₁ = 1,223

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

أربعة ميول

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,1, 1,1) = 1,109778

k₃ = f(0,1, 1,110978) = 1,110869

k₄ = f(0,2, 1,222174) = 1,242008

ادمج

y₁ = 1 + (0,2/6)(1 + 2·1,109778 + 2·1,110869 + 1,242008) = 1,223

الإجابة

y₁ = 1,223

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations