المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 5y′ + 6y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 6. أوجد y(2).

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 2y′(0) = 6

y(2) =

2.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 13 kg من الملح؟

V = 500 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀¹ x·cos x dx (قيمة x بالراديان).

∫₀¹ x·cos x dx

I =

4.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = x والقطع المكافئ y = x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = xy = x²

V =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x³·e^x. أوجد f′(1).

f(x) = x³·e^xx = 1

f′(1) =

6.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ + 6x² − 3. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x³ + 6x² − 3

x =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀¹ sin(x²) dx بقاعدة سيمبسون باستخدام n = 2 شريحة. أعطِ S.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 2

S =

8.الطرائق العدديةصعبة

حلّ y′ = 2y، y(0) = 2 بطريقة أويلر وبخطوة h = 0,25 حتى t = 0,75. الحل الدقيق هو y = y₀e^2t. جد الخطأ الكلي |E| = |y(0,75) − y₃|.

y′ = 2yy(0) = 2h = 0,25

|E| =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(2) = 0,195

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المميِّزة

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

الثابتان من القيم الابتدائية

A + B = 2, −2A − 3B = 6

A = 12, B = −10

احسب

y(2) = 12·e⁻⁴ + (−10)·e⁻⁶ = 0,195

الإجابة

y(2) = 0,195

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 183,5 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

النتيجة

m(t) = 25 + (−25)·e^−t/250

حلّ لإيجاد t

e^−t/250 = (25 − 13)/(25 − 0) = 0,48

t = 250·ln(2,083) = 183,5 min

الإجابة

t = 183,5 min

3.التكاملات

الإجابة: I = 0,3818

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

الدالة الأصلية

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

النهايات

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

الإجابة

I = 0,3818

4.التكاملات

الإجابة: V = 0,4189

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

1x = 1x² → x = 0, x = 1

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

كامل

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0,1333 = 0,4189

الإجابة

V = 0,4189

5.المشتقات

الإجابة: f′(1) = 10,87

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة الضرب

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

عوّض

f′(1) = 2,718·(3 + 1) = 10,87

الإجابة

f′(1) = 10,87

6.المشتقات

الإجابة: x = −4

المشتقة

f′(x) = 3x² + 12x = 3·(x² + 4x)

حُلّ f′(x) = 0

x = −4 أو x = 0

أيهما أي

f″(x) = 6x + 12: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(−4) = −12, f″(0) = 12

x = −4

الإجابة

x = −4

7.الطرائق العددية

الإجابة: S = 0,3052

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

العقد والقيم

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,247404 + 0,841471 = 1,831087

قاعدة سيمبسون

S = (0,5/3)·1,831087 = 0,3052

الإجابة

S = 0,3052

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

8.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 2,213

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₃ = 6,75

القيمة الدقيقة

y(0,75) = 8,963378

الخطأ الكلي

|E| = |8,963378 − 6,75| = 2,213

الرسم البياني

الإجابة

|E| = 2,213

تنصيف h ينصّف تقريبًا خطأ طريقة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations