المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي
dy/dt = ky → y = y0ekt
عمر النصف
k = ln 2 / t½
قانون نيوتن للتبريد
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
عامل التكامل
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
خزان الخلط
dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد
∫ab f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين
∫ab (f − g) dx

الطريقة

  1. أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
  2. طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
  3. استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
  4. للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب
(uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

  1. حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
  2. طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
  3. استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
  4. بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

  1. لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
  2. لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
  3. لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
  4. لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة
t (min)T (°C)13Ta​T = ?

علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 27 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 13 min.

T0 = 4 °CTa = 27 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 13 min
T = °C
2.المعادلات التفاضليةصعبة
t (min)m (kg)40 minm = ?

خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 40 min؟

V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
3.التكاملاتمتوسطة
xy01

احسب I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 1]
I =
4.التكاملاتصعبة
xyy = 2x2​y = 2x

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 2x2 و y = 2x.

y = 2x2y = 2x
A =
5.المشتقاتمتوسطة
xyx = 2

لتكن f(x) = x·sin(x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad
f′(2) =
6.المشتقاتصعبة
xyx = 1

المماس لـ f(x) = 0,5x2 + 3x − 3 عند x = 1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 0,5x2 + 3x − 3x = 1
b =
7.الطرائق العدديةمتوسطة
xy00,250,50,7511,251,5

قرّب ∫01,5 1/(1 + x³) dx بقاعدة سيمبسون باستخدام n = 6 شريحة. أعطِ S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6
S =
8.الطرائق العدديةصعبة
00,511,500,51ty(0, 0)

استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,5 للمسألة y′ = e−ty، y(0) = 0 لتقدير y3 ≈ y(1,5).

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,5
y3 =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 18,87 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 27 + (−23)·e−0,08t

عوّض t

T(13) = 27 + (−23)·0,3535 = 18,87 °C

الإجابة

T = 18,87 °C
2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: m = 22,31 kg

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

صُغ المعادلة

dm/dt = 2·0,05 − (2/1000)·m = 0,1 − 0,002·m

الحل

عامل التكامل ert/V؛ والحل يقترب من قيمة الاتزان c·V.

m(t) = 50 + (−30)·e−t/500

عوّض t

m(40) = 50 + (−30)·0,9231 = 22,31 kg

الإجابة

m = 22,31 kg
3.التكاملات

الإجابة: I = 1,5

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

التعويض

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u1 du

كامل وعوّض الحدود

I = [u2/2]12 = (4 − 1)/2 = 1,5

الإجابة

I = 1,5
4.التكاملات

الإجابة: A = 0,3333

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

نقاط التقاطع

2x2 = 2x → x = 0, x = 1

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [x2 − 0,6667x3]01 = 0,3333

الإجابة

A = 0,3333
5.المشتقات

الإجابة: f′(2) = 0,077

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

عوّض

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

الإجابة

f′(2) = 0,077
6.المشتقات

الإجابة: b = −3,5

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

النقطة والميل

f(1) = 0,5
f′(x) = x + 3 → f′(1) = 4

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0,5 − 4·1 = −3,5

الإجابة

b = −3,5
7.الطرائق العددية

الإجابة: S = 1,009

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

ixᵢf(xᵢ)الوزن001110,250,984615420,50,888889230,750,7032974410,5251,250,338624461,50,2285711

العقد والقيم

h = 0,25
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,984615 + 2·0,888889 + 4·0,703297 + 2·0,5 + 4·0,338624 + 0,228571 = 12,112495

قاعدة سيمبسون

S = (0,25/3)·12,112495 = 1,009

الإجابة

S = 1,009

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

8.الطرائق العددية

الإجابة: y3 = 0,9269

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁00010,7788010,444710,50,44470,8006350,429550,752246210,7522460,4713070,2272170,926877

خطوات هوين

y₁ = 0 + (0,5/2)(1 + 0,778801) = 0,4447
y₂ = 0,4447 + (0,5/2)(0,800635 + 0,42955) = 0,752246
y₃ = 0,752246 + (0,5/2)(0,471307 + 0,227217) = 0,926877
00,511,500,51ty

الرسم البياني

y3 = 0,9269

الإجابة

y3 = 0,9269

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations