المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي
dy/dt = ky → y = y0ekt
عمر النصف
k = ln 2 / t½
قانون نيوتن للتبريد
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
عامل التكامل
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
خزان الخلط
dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد
∫ab f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين
∫ab (f − g) dx

الطريقة

  1. أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
  2. طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
  3. استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
  4. للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب
(uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

  1. حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
  2. طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
  3. استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
  4. بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

  1. لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
  2. لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
  3. لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
  4. لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة
t (min)T (°C)14Ta​15 °C

علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 23 °C. بعد 14 min تكون درجة حرارتها 15 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.

T0 = 6 °CTa = 23 °CT(14) = 15 °C
k = min⁻¹
2.المعادلات التفاضليةصعبة
t (min)m (kg)25 minm = ?

خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 25 min؟

V = 200 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
3.التكاملاتمتوسطة
xy15

احسب I = ∫15 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 5]
I =
4.التكاملاتصعبة
xy1y = x²eˣ

احسب I = ∫₀1 x²·eˣ dx.

∫₀1 x²eˣ dx
I =
5.المشتقاتمتوسطة
xyx = 0,5

لتكن f(x) = x·sin(3x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(0,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
6.المشتقاتصعبة
xy

لتكن f(x) = x3 − 10,5x2 + 30x − 4. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x3 − 10,5x2 + 30x − 4
x =
7.الطرائق العدديةمتوسطة

تُستخدم قاعدة شبه المنحرف لحساب ∫01 x³ dx. الخطأ على الأكثر (b − a)³·M/(12n²) مع M = max|f″| على [0, 1]. جد أصغر عدد شرائح n يضمن خطأً أقل من 0,0005.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
8.الطرائق العدديةصعبة
00,510,51ty(0, 0,2)

استخدم طريقة أويلر مع h = 0,2 للمسألة y′ = y(2 − y)، y(0) = 0,2 لتقدير y5 ≈ y(1).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,2
y5 =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: k = 0,05384 min⁻¹

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

نسبة فروق درجات الحرارة

e−14k = -8/-17

حلّ لإيجاد k

k = ln(-17/-8)/14 = 0,05384 min⁻¹

الإجابة

k = 0,05384 min⁻¹
2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: m = 14,65 kg

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

صُغ المعادلة

dm/dt = 5·0,1 − (5/200)·m = 0,5 − 0,025·m

الحل

عامل التكامل ert/V؛ والحل يقترب من قيمة الاتزان c·V.

m(t) = 20 + (−10)·e−t/40

عوّض t

m(25) = 20 + (−10)·0,5353 = 14,65 kg

الإجابة

m = 14,65 kg
3.التكاملات

الإجابة: I = 6,438

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = 4·ln x

عوّض الحدود

I = 4·(ln 5 − ln 1) = 4·ln 5 = 6,438

الإجابة

I = 6,438
4.التكاملات

الإجابة: I = 0,7183

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

الإجابة

I = 0,7183
5.المشتقات

الإجابة: f′(0.5) = 1,104

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

عوّض

f′(0,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

الإجابة

f′(0,5) = 1,104
6.المشتقات

الإجابة: x = 2

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

المشتقة

f′(x) = 3x2 − 21x + 30 = 3·(x2 − 7x + 10)

حُلّ f′(x) = 0

x = 2 أو x = 5

أيهما أي

f″(x) = 6x − 21: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(2) = −9, f″(5) = 9
x = 2

الإجابة

x = 2
7.الطرائق العددية

الإجابة: n = 32

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

حد المشتقة الثانية

M = 6·1 = 6

حُلّ لإيجاد n

n² > 1·6/(12·0,0005) = 1000
n > 31,62 → n = 32

الإجابة

n = 32
8.الطرائق العددية

الإجابة: y5 = 0,8057

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁000,20,360,27210,20,2720,4700160,36600320,40,3660030,5980480,48561330,60,4856130,7354060,63269440,80,6326940,8650860,805711

خطوات أويلر

y₁ = 0,2 + 0,2·(0,36) = 0,272
y₂ = 0,272 + 0,2·(0,470016) = 0,366003
y₃ = 0,366003 + 0,2·(0,598048) = 0,485613
y₄ = 0,485613 + 0,2·(0,735406) = 0,632694
y₅ = 0,632694 + 0,2·(0,865086) = 0,805711
00,510,51ty

الرسم البياني

y5 = 0,8057

الإجابة

y5 = 0,8057

القيمة الدقيقة هي y(1) = 0,901706.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations