المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 2. أوجد y(0,5).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(0.5) =

2.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 400 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 23 kg من الملح؟

V = 400 Lm₀ = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min

t = min

3.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀³ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 3]

I =

4.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 1 − x² والمحور x.

y = 1 − x²

A =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x³·e^−0,5x. أوجد f′(1,5).

f(x) = x³·e^−0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 5. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 5

x =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

تُقاس سرعة مركبة كل 5 s (جدول). قدّر المسافة s المقطوعة من t = 0 إلى t = 25 s بقاعدة شبه المنحرف.

h = 5 sn = 5

s = m

8.الطرائق العدديةصعبة

حلّ y′ = −2ty، y(0) = −1 بطريقة أويلر وبخطوة h = 0,1 حتى t = 0,3. الحل الدقيق هو y = y₀e^−t². جد الخطأ الكلي |E| = |y(0,3) − y₃|.

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,1

|E| =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.5) = 1,339

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذر المضاعف

(r + 3)² = 0 → r = −3

الثوابت

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = 2 + 6 = 8

احسب

y(0,5) = (2 + 8·0,5)·e^−1,5 = 1,339

الإجابة

y(0,5) = 1,339

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 28,89 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

النتيجة

m(t) = 40 + (−35)·e^−t/40

حلّ لإيجاد t

e^−t/40 = (40 − 23)/(40 − 5) = 0,4857

t = 40·ln(2,059) = 28,89 min

الإجابة

t = 28,89 min

3.التكاملات

الإجابة: I = 6,963

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^0,5x/0,5

عوّض الحدود

I = (e^1,5 − 1)/0,5 = (4,482 − 1)/0,5 = 6,963

الإجابة

I = 6,963

4.التكاملات

الإجابة: A = 1,333

الأصفار

1 − x² = 0 → x = ±1

كامل

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

الإجابة

A = 1,333

5.المشتقات

الإجابة: f′(1.5) = 2,391

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة الضرب

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(3x² + (−0,5)·x³)

عوّض

f′(1,5) = 0,4724·(6,75 + (−1,688)) = 2,391

الإجابة

f′(1,5) = 2,391

6.المشتقات

الإجابة: x = 3

المشتقة

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

حُلّ f′(x) = 0

x = 2 أو x = 3

أيهما أي

f″(x) = 6x − 15: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 3

الإجابة

x = 3

7.الطرائق العددية

الإجابة: s = 200 m

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

المجموع الموزون

3 + 2·2 + 2·8 + 2·12 + 2·11 + 11 = 80

قاعدة شبه المنحرف

s = (5/2)·80 = 200 m

الإجابة

s = 200 m

8.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 0,02687

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₃ = −0,9408

القيمة الدقيقة

y(0,3) = −0,913931

الخطأ الكلي

|E| = |−0,913931 + 0,9408| = 0,02687

الرسم البياني

الإجابة

|E| = 0,02687

تنصيف h ينصّف تقريبًا خطأ طريقة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations