المعادلات التفاضلية
- النمو/الاضمحلال الأسّي
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- عمر النصف
- k = ln 2 / t½
- قانون نيوتن للتبريد
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- عامل التكامل
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- خزان الخلط
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التكاملات
- قاعدة القوة
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- التكامل المحدد
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- تكاملات شائعة
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- المساحة بين منحنيين
- ∫ab (f − g) dx
الطريقة
- أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
- طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
- استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
- للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).
المشتقات
- قاعدة القوة
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- قاعدة الضرب
- (uv)′ = u′v + uv′
- قاعدة القسمة
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- قاعدة السلسلة
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- مشتقات شائعة
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
الطريقة
- حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
- طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
- استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
- بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.
الطرائق العددية
- التنصيف
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- نيوتن–رافسون
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- الاستيفاء الخطي
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- قاعدة شبه المنحرف
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- قاعدة سيمبسون (n زوجي)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- حد خطأ شبه المنحرف
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- أويلر
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- هوين
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
الطريقة
- لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
- لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
- لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
- لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.
2مسائل تدريبية
1.المعادلات التفاضليةمتوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 480 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 28 °C. بعد 25 min تكون درجة حرارتها 302 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 151 °C؟
T0 = 480 °CTa = 28 °CT(25) = 302 °CT = 151 °C
t = min
2.المعادلات التفاضليةصعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 4x2 لـ x > 0، مع y(1) = 4. أوجد y(2).
y′ + 3y/x = 4x2y(1) = 4
y(2) =
3.التكاملاتمتوسطة
احسب I = ∫15 4/x dx.
f(x) = 4/x[1, 5]
I =
4.التكاملاتصعبة
تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 3x والقطع المكافئ y = 2x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.
y = 3xy = 2x²
V =
5.المشتقاتمتوسطة
لتكن f(x) = ln(2x2 + 1). أوجد f′(3).
f(x) = ln(2x2 + 1)x = 3
f′(3) =
6.المشتقاتصعبة
المماس لـ f(x) = 3x2 + 5 عند x = 1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.
f(x) = 3x2 + 5x = 1
b =
7.الطرائق العدديةمتوسطة
تُقاس سرعة مركبة كل 2 s (جدول). قدّر المسافة s المقطوعة من t = 0 إلى t = 12 s بقاعدة سيمبسون.
h = 2 sn = 6
s = m
8.الطرائق العدديةصعبة
استخدم طريقة أويلر مع h = 0,1 للمسألة y′ = e−ty، y(0) = 0 لتقدير y5 ≈ y(0,5).
y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,1
y5 =
3المحاليل
1.المعادلات التفاضلية
الإجابة: t = 65 min
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
ثابت التبريد
k = ln(452/274)/25 = 0,02002 min⁻¹
الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة
t = ln(452/123)/0,02002 = 65 min
الإجابة
t = 65 min
2.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(2) = 5,75
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
عامل التكامل
μ = e∫3/x dx = x3
كامل
(x3y)′ = 4x5 → x3y = 4x6/6 + C
الشرط الابتدائي
4 = 4/6 + C → C = 3,333
احسب
y(2) = (4·26/6 + 3,333)/23 = 5,75
الإجابة
y(2) = 5,75
3.التكاملات
الإجابة: I = 6,438
التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.
الدالة الأصلية
F(x) = 4·ln x
عوّض الحدود
I = 4·(ln 5 − ln 1) = 4·ln 5 = 6,438
الإجابة
I = 6,438
4.التكاملات
الإجابة: V = 12,72
أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.
نقاط التقاطع
3x = 2x² → x = 0, x = 1,5
طريقة الحلقات (الواشر)
V = π∫₀1,5 ((3x)² − (2x²)²) dx
كامل
V = π(9·1,5³/3 − 4·1,5⁵/5) = π·4,05 = 12,72
الإجابة
V = 12,72
5.المشتقات
الإجابة: f′(3) = 0,6316
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
قاعدة السلسلة للوغاريتم
f′(x) = 4x/(2x2 + 1)
عوّض
f′(3) = 12/19 = 0,6316
الإجابة
f′(3) = 0,6316
6.المشتقات
الإجابة: b = 2
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
النقطة والميل
f(1) = 8
f′(x) = 6x → f′(1) = 6
المماس عند x = 0
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 8 − 6·1 = 2
الإجابة
b = 2
7.الطرائق العددية
الإجابة: s = 116 m
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
المجموع الموزون
3 + 4·3 + 2·9 + 4·13 + 2·11 + 4·13 + 15 = 174
قاعدة سيمبسون
s = (2/3)·174 = 116 m
الإجابة
s = 116 m
8.الطرائق العددية
الإجابة: y5 = 0,4723
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y₁ = 0 + 0,1·(1) = 0,1
y₂ = 0,1 + 0,1·(0,99005) = 0,199005
y₃ = 0,199005 + 0,1·(0,960981) = 0,295103
y₄ = 0,295103 + 0,1·(0,915275) = 0,386631
y₅ = 0,386631 + 0,1·(0,856713) = 0,472302
الرسم البياني
y5 = 0,4723
الإجابة
y5 = 0,4723
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations