المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. بعد 57 min تكون درجة حرارتها 148 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.

T₀ = 420 °CT_a = 20 °CT(57) = 148 °C

k = min⁻¹

2.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y′ + y = 5e^−3t مع y(0) = 3. أوجد y(0,5).

y′ + y = 5e^−3ty(0) = 3

y(0.5) =

3.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

4.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 0,5x² و y = x.

y = 0,5x²y = x

A =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = (2x + 3)⁴. أوجد f′(1).

f(x) = (2x + 3)⁴x = 1

f′(1) =

6.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 0,5x² + x + 4 عند x = 1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 0,5x² + x + 4x = 1

b =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀¹ √x·e^−x dx بقاعدة سيمبسون باستخدام n = 4 شريحة. أعطِ S.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 1]n = 4

S =

8.الطرائق العدديةصعبة

حلّ y′ = y − t²، y(0) = 0,5 بطريقة أويلر وبخطوة h = 0,25 حتى t = 1,25. الحل الدقيق هو y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. جد الخطأ الكلي |E| = |y(1,25) − y₅|.

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,25

|E| =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: k = 0,01999 min⁻¹

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

نسبة فروق درجات الحرارة

e^−57k = 128/400

حلّ لإيجاد k

k = ln(400/128)/57 = 0,01999 min⁻¹

الإجابة

k = 0,01999 min⁻¹

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.5) = 2,778

عامل التكامل

μ = e^t

(e^ty)′ = 5e^−2t

الحل العام

y = 5/(−2)·e^−3t + C·e^−t = −2,5·e^−3t + C·e^−t

الشرط الابتدائي

3 = −2,5 + C → C = 5,5

احسب

y(0,5) = −2,5·0,2231 + 5,5·0,6065 = 2,778

الإجابة

y(0,5) = 2,778

3.التكاملات

الإجابة: I = 41,33

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

التعويض

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

كامل وعوّض الحدود

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

الإجابة

I = 41,33

4.التكاملات

الإجابة: A = 0,6667

نقاط التقاطع

0,5x² = x → x = 0, x = 2

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

الإجابة

A = 0,6667

5.المشتقات

الإجابة: f′(1) = 1000

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة

f′(x) = 4·(2x + 3)³·2

عوّض

f′(1) = 4·5³·2 = 1000

الإجابة

f′(1) = 1000

6.المشتقات

الإجابة: b = 3,5

النقطة والميل

f(1) = 5,5

f′(x) = x + 1 → f′(1) = 2

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5,5 − 2·1 = 3,5

الإجابة

b = 3,5

7.الطرائق العددية

الإجابة: S = 0,3683

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

العقد والقيم

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,3894 + 2·0,428882 + 4·0,409081 + 0,367879 = 4,419571

قاعدة سيمبسون

S = (0,25/3)·4,419571 = 0,3683

الإجابة

S = 0,3683

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

8.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 0,1449

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₅ = 0,971924

القيمة الدقيقة

y(1,25) = 0,826986

الخطأ الكلي

|E| = |0,826986 − 0,971924| = 0,1449

الرسم البياني

الإجابة

|E| = 0,1449

تنصيف h ينصّف تقريبًا خطأ طريقة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations