المعادلات التفاضلية
- النمو/الاضمحلال الأسّي
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- عمر النصف
- k = ln 2 / t½
- قانون نيوتن للتبريد
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- عامل التكامل
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- خزان الخلط
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التكاملات
- قاعدة القوة
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- التكامل المحدد
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- تكاملات شائعة
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- المساحة بين منحنيين
- ∫ab (f − g) dx
الطريقة
- أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
- طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
- استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
- للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).
المشتقات
- قاعدة القوة
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- قاعدة الضرب
- (uv)′ = u′v + uv′
- قاعدة القسمة
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- قاعدة السلسلة
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- مشتقات شائعة
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
الطريقة
- حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
- طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
- استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
- بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.
الطرائق العددية
- التنصيف
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- نيوتن–رافسون
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- الاستيفاء الخطي
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- قاعدة شبه المنحرف
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- قاعدة سيمبسون (n زوجي)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- حد خطأ شبه المنحرف
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- أويلر
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- هوين
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
الطريقة
- لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
- لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
- لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
- لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.
2مسائل تدريبية
1.المعادلات التفاضليةمتوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 26 min.
T0 = 300 °CTa = 26 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 26 min
T = °C
2.المعادلات التفاضليةصعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 25 min؟
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
3.التكاملاتمتوسطة
احسب I = ∫₀π/2 x·cos x dx (قيمة x بالراديان).
∫₀π/2 x·cos x dx
I =
4.التكاملاتصعبة
احسب I = ∫₀0,5 x²·eˣ dx.
∫₀0,5 x²eˣ dx
I =
5.المشتقاتمتوسطة
لتكن f(x) = x·sin(x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(2).
f(x) = x·sin(x)x = 2 rad
f′(2) =
6.المشتقاتصعبة
لتكن f(x) = x3 + 6x2 − 3. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.
f(x) = x3 + 6x2 − 3
x =
7.الطرائق العدديةمتوسطة
تُستخدم قاعدة شبه المنحرف لحساب ∫02 x³ dx. الخطأ على الأكثر (b − a)³·M/(12n²) مع M = max|f″| على [0, 2]. جد أصغر عدد شرائح n يضمن خطأً أقل من 0,0005.
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
8.الطرائق العدديةصعبة
استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,1 للمسألة y′ = t² + y²، y(0) = 0,5 لتقدير y2 ≈ y(0,2).
y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,1
y2 =
3المحاليل
1.المعادلات التفاضلية
الإجابة: T = 100,7 °C
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
حلّ قانون التبريد
T(t) = 26 + 274·e−0,05t
عوّض t
T(26) = 26 + 274·0,2725 = 100,7 °C
الإجابة
T = 100,7 °C
2.المعادلات التفاضلية
الإجابة: m = 7,324 kg
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
صُغ المعادلة
dm/dt = 5·0,05 − (5/200)·m = 0,25 − 0,025·m
الحل
عامل التكامل ert/V؛ والحل يقترب من قيمة الاتزان c·V.
m(t) = 10 + (−5)·e−t/40
عوّض t
m(25) = 10 + (−5)·0,5353 = 7,324 kg
الإجابة
m = 7,324 kg
3.التكاملات
الإجابة: I = 0,5708
التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.
اختر u وdv
u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x
الدالة الأصلية
∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x
النهايات
(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0,5708
الإجابة
I = 0,5708
4.التكاملات
الإجابة: I = 0,0609
التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.
الجولة الأولى
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
الجولة الثانية
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
النهايات
1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609
الإجابة
I = 0,0609
5.المشتقات
الإجابة: f′(2) = 0,077
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
قاعدتا الضرب والسلسلة
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
عوّض
f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077
الإجابة
f′(2) = 0,077
6.المشتقات
الإجابة: x = −4
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
المشتقة
f′(x) = 3x2 + 12x = 3·(x2 + 4x)
حُلّ f′(x) = 0
x = −4 أو x = 0
أيهما أي
f″(x) = 6x + 12: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.
f″(−4) = −12, f″(0) = 12
x = −4
الإجابة
x = −4
7.الطرائق العددية
الإجابة: n = 127
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
حد المشتقة الثانية
M = 6·2 = 12
حُلّ لإيجاد n
n² > 8·12/(12·0,0005) = 16000
n > 126,5 → n = 127
الإجابة
n = 127
8.الطرائق العددية
الإجابة: y2 = 0,5586
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات هوين
y₁ = 0,5 + (0,1/2)(0,25 + 0,285625) = 0,526781
y₂ = 0,526781 + (0,1/2)(0,287498 + 0,348615) = 0,558587
الرسم البياني
y2 = 0,5586
الإجابة
y2 = 0,5586
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations