المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 30 °C. بعد 5 min تكون درجة حرارتها 15 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 23 °C؟

T₀ = 6 °CT_a = 30 °CT(5) = 15 °CT = 23 °C

t = min

2.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 29y = 58 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى y_max لاستجابته للدخل الدرجي.

y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 2]

I =

4.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 2x² و y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = (2x − 1)³. أوجد f′(−1).

f(x) = (2x − 1)³x = −1

f′(−1) =

6.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 0,5x² + 3x − 6 عند x = −1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 0,5x² + 3x − 6x = −1

b =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

تُقاس سرعة مركبة كل 5 s (جدول). قدّر المسافة s المقطوعة من t = 0 إلى t = 25 s بقاعدة شبه المنحرف.

h = 5 sn = 5

s = m

8.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,5 للمسألة y′ = −2ty، y(0) = −1 لتقدير y₂ ≈ y(1).

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,5

y₂ =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 13,11 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(-24/-15)/5 = 0,094 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(-24/(−7))/0,094 = 13,11 min

الإجابة

t = 13,11 min

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y_max = 2,569

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 2, r = −2 ± 5j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −0,8

الذروة

t = π/5 = 0,6283

y_max = 2·(1 + e^−2·π/5) = 2,569

الإجابة

y_max = 2,569

3.التكاملات

الإجابة: I = 1,264

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

عوّض الحدود

I = (e⁻¹ − 1)/(−0,5) = (0,3679 − 1)/(−0,5) = 1,264

الإجابة

I = 1,264

4.التكاملات

الإجابة: A = 1,125

نقاط التقاطع

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

الإجابة

A = 1,125

5.المشتقات

الإجابة: f′(−1) = 54

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة

f′(x) = 3·(2x − 1)²·2

عوّض

f′(−1) = 3·(−3)²·2 = 54

الإجابة

f′(−1) = 54

6.المشتقات

الإجابة: b = −6,5

النقطة والميل

f(−1) = −8,5

f′(x) = x + 3 → f′(−1) = 2

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −8,5 − 2·(−1) = −6,5

الإجابة

b = −6,5

7.الطرائق العددية

الإجابة: s = 215 m

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

المجموع الموزون

5 + 2·5 + 2·5 + 2·11 + 2·12 + 15 = 86

قاعدة شبه المنحرف

s = (5/2)·86 = 215 m

الإجابة

s = 215 m

8.الطرائق العددية

الإجابة: y₂ = −0,375

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات هوين

y₁ = −1 + (0,5/2)(0 + 1) = −0,75

y₂ = −0,75 + (0,5/2)(0,75 + 0,75) = −0,375

الرسم البياني

y₂ = −0,375

الإجابة

y₂ = −0,375

القيمة الدقيقة هي y(1) = −0,367879.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations