المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

قطعة فولاذ مطروقة عند 460 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 53 min تكون درجة حرارتها 55 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 177 °C؟

T₀ = 460 °CT_a = 24 °CT(53) = 55 °CT = 177 °C

t = min

2.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 3x² لـ x > 0، مع y(1) = 4. أوجد y(3).

y′ + 3y/x = 3x²y(1) = 4

y(3) =

3.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = √(4x) من x = 0 إلى x = 2 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مجسّم مكافئ).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 2

V =

4.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 2x² و y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = (3x + 1)⁵. أوجد f′(0).

f(x) = (3x + 1)⁵x = 0

f′(0) =

6.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 3x² + 2x + 5 عند x = −2 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 3x² + 2x + 5x = −2

b =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀³ √x·e^−x dx بقاعدة سيمبسون باستخدام n = 2 شريحة. أعطِ S.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 2

S =

8.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة أويلر مع h = 0,5 للمسألة y′ = cos t − y، y(0) = 3 لتقدير y₃ ≈ y(1,5).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,5

y₃ =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 20,99 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(436/31)/53 = 0,04988 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(436/153)/0,04988 = 20,99 min

الإجابة

t = 20,99 min

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(3) = 13,63

عامل التكامل

μ = e^{∫3/x dx} = x³

كامل

(x³y)′ = 3x⁵ → x³y = 3x⁶/6 + C

الشرط الابتدائي

4 = 3/6 + C → C = 3,5

احسب

y(3) = (3·3⁶/6 + 3,5)/3³ = 13,63

الإجابة

y(3) = 13,63

3.التكاملات

الإجابة: V = 25,13

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀² 4x dx

كامل

V = π·4·2²/2 = 25,13

الإجابة

V = 25,13

4.التكاملات

الإجابة: A = 0,3333

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

نقاط التقاطع

2x² = 2x → x = 0, x = 1

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

الإجابة

A = 0,3333

5.المشتقات

الإجابة: f′(0) = 15

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة

f′(x) = 5·(3x + 1)⁴·3

عوّض

f′(0) = 5·1⁴·3 = 15

الإجابة

f′(0) = 15

6.المشتقات

الإجابة: b = −7

النقطة والميل

f(−2) = 13

f′(x) = 6x + 2 → f′(−2) = −10

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − (−10)·(−2) = −7

الإجابة

b = −7

7.الطرائق العددية

الإجابة: S = 0,5897

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

العقد والقيم

h = 1,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,273278 + 0,0862337 = 1,179344

قاعدة سيمبسون

S = (1,5/3)·1,179344 = 0,5897

الإجابة

S = 0,5897

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

8.الطرائق العددية

الإجابة: y₃ = 0,9895

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₁ = 3 + 0,5·(−2) = 2

y₂ = 2 + 0,5·(−1,122417) = 1,438791

y₃ = 1,438791 + 0,5·(−0,898489) = 0,989547

الرسم البياني

y₃ = 0,9895

الإجابة

y₃ = 0,9895

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations