المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 87 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 12 min.

T₀ = 87 °CT_a = 20 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 12 min

T = °C

2.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 80 kg من الملح؟

V = 500 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 2]

I =

4.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 0,5x² و y = 3x.

y = 0,5x²y = 3x

A =

5.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(2x² + 2). أوجد f′(3).

f(x) = ln(2x² + 2)x = 3

f′(3) =

6.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 10,5x² + 36x + 2. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x³ − 10,5x² + 36x + 2

x =

7.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀² √x·e^−x dx بقاعدة شبه المنحرف باستخدام n = 6 شريحة. أعطِ T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 2]n = 6

T =

8.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة أويلر مع h = 0,1 للمسألة y′ = t² + y²، y(0) = 0,5 لتقدير y₅ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,1

y₅ =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 61,46 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 20 + 67·e^−0,04t

عوّض t

T(12) = 20 + 67·0,6188 = 61,46 °C

الإجابة

T = 61,46 °C

2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 160,9 min

النتيجة

m(t) = 100 + (−100)·e^−t/100

حلّ لإيجاد t

e^−t/100 = (100 − 80)/(100 − 0) = 0,2

t = 100·ln(5) = 160,9 min

الإجابة

t = 160,9 min

3.التكاملات

الإجابة: I = 26,8

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^2x/2

عوّض الحدود

I = (e⁴ − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

الإجابة

I = 26,8

4.التكاملات

الإجابة: A = 18

نقاط التقاطع

0,5x² = 3x → x = 0, x = 6

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [1,5x² − 0,1667x³]₀⁶ = 18

الإجابة

A = 18

5.المشتقات

الإجابة: f′(3) = 0,6

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

عوّض

f′(3) = 12/20 = 0,6

الإجابة

f′(3) = 0,6

6.المشتقات

الإجابة: x = 3

المشتقة

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

حُلّ f′(x) = 0

x = 3 أو x = 4

أيهما أي

f″(x) = 6x − 21: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 3

الإجابة

x = 3

7.الطرائق العددية

الإجابة: T = 0,6149

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

العقد والقيم

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,41369 + 2·0,419203 + 2·0,367879 + 2·0,304376 + 2·0,243837 + 0,191393 = 3,689364

قاعدة شبه المنحرف

T = (0,3333/2)·3,689364 = 0,6149

الإجابة

T = 0,6149

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

8.الطرائق العددية

الإجابة: y₅ = 0,6877

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₁ = 0,5 + 0,1·(0,25) = 0,525

y₂ = 0,525 + 0,1·(0,285625) = 0,553563

y₃ = 0,553563 + 0,1·(0,346431) = 0,588206

y₄ = 0,588206 + 0,1·(0,435986) = 0,631804

y₅ = 0,631804 + 0,1·(0,559177) = 0,687722

الرسم البياني

y₅ = 0,6877

الإجابة

y₅ = 0,6877

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations