المعادلات التفاضلية
- النمو/الاضمحلال الأسّي
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- عمر النصف
- k = ln 2 / t½
- قانون نيوتن للتبريد
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- عامل التكامل
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- خزان الخلط
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التكاملات
- قاعدة القوة
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- التكامل المحدد
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- تكاملات شائعة
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- المساحة بين منحنيين
- ∫ab (f − g) dx
الطريقة
- أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
- طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
- استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
- للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).
المشتقات
- قاعدة القوة
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- قاعدة الضرب
- (uv)′ = u′v + uv′
- قاعدة القسمة
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- قاعدة السلسلة
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- مشتقات شائعة
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
الطريقة
- حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
- طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
- استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
- بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.
الطرائق العددية
- التنصيف
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- نيوتن–رافسون
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- الاستيفاء الخطي
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- قاعدة شبه المنحرف
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- قاعدة سيمبسون (n زوجي)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- حد خطأ شبه المنحرف
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- أويلر
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- هوين
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
الطريقة
- لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
- لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
- لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
- لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.
2مسائل تدريبية
1.المعادلات التفاضليةمتوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 18 min تكون درجة حرارتها 356 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 414 °C؟
T0 = 500 °CTa = 24 °CT(18) = 356 °CT = 414 °C
t = min
2.المعادلات التفاضليةصعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 5 لـ x > 0، مع y(1) = −3. أوجد y(2).
y′ + y/x = 5y(1) = −3
y(2) =
3.التكاملاتمتوسطة
تُدوَّر المنطقة تحت y = x من x = 0 إلى x = 3 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).
y = x0 ≤ x ≤ 3
V =
4.التكاملاتصعبة
تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 4x والقطع المكافئ y = x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.
y = 4xy = x²
V =
5.المشتقاتمتوسطة
لتكن f(x) = (−2x + 1)4. أوجد f′(0).
f(x) = (−2x + 1)4x = 0
f′(0) =
6.المشتقاتصعبة
المماس لـ f(x) = 2x2 + x − 5 عند x = 2 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.
f(x) = 2x2 + x − 5x = 2
b =
7.الطرائق العدديةمتوسطة
تُستخدم قاعدة شبه المنحرف لحساب ∫01 x³ dx. الخطأ على الأكثر (b − a)³·M/(12n²) مع M = max|f″| على [0, 1]. جد أصغر عدد شرائح n يضمن خطأً أقل من 0,0001.
f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
8.الطرائق العدديةصعبة
حلّ y′ = t + y، y(0) = 2 بطريقة أويلر وبخطوة h = 0,25 حتى t = 1,25. الحل الدقيق هو y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. جد الخطأ الكلي |E| = |y(1,25) − y5|.
y′ = t + yy(0) = 2h = 0,25
|E| =
3المحاليل
1.المعادلات التفاضلية
الإجابة: t = 9,956 min
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
ثابت التبريد
k = ln(476/332)/18 = 0,02002 min⁻¹
الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة
t = ln(476/390)/0,02002 = 9,956 min
الإجابة
t = 9,956 min
2.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(2) = 2,25
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
عامل التكامل
μ = e∫1/x dx = x1
كامل
(x1y)′ = 5x → x1y = 5x2/2 + C
الشرط الابتدائي
−3 = 5/2 + C → C = −5,5
احسب
y(2) = (5·22/2 + (−5,5))/21 = 2,25
الإجابة
y(2) = 2,25
3.التكاملات
الإجابة: V = 28,27
أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.
طريقة الأقراص
V = π∫₀3 1x² dx
كامل
V = π·1·3³/3 = 28,27
الإجابة
V = 28,27
تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 3 وارتفاعه 3 الحجم (1/3)πr²h = 28,27.
4.التكاملات
الإجابة: V = 428,9
أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.
نقاط التقاطع
4x = 1x² → x = 0, x = 4
طريقة الحلقات (الواشر)
V = π∫₀4 ((4x)² − (1x²)²) dx
كامل
V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136,5 = 428,9
الإجابة
V = 428,9
5.المشتقات
الإجابة: f′(0) = −8
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
قاعدة السلسلة
f′(x) = 4·(−2x + 1)3·(−2)
عوّض
f′(0) = 4·13·(−2) = −8
الإجابة
f′(0) = −8
6.المشتقات
الإجابة: b = −13
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
النقطة والميل
f(2) = 5
f′(x) = 4x + 1 → f′(2) = 9
المماس عند x = 0
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − 9·2 = −13
الإجابة
b = −13
7.الطرائق العددية
الإجابة: n = 71
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
حد المشتقة الثانية
M = 6·1 = 6
حُلّ لإيجاد n
n² > 1·6/(12·0,0001) = 5000
n > 70,71 → n = 71
الإجابة
n = 71
8.الطرائق العددية
الإجابة: |E| = 1,316
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y5 = 6,905273
القيمة الدقيقة
y(1,25) = 8,221029
الخطأ الكلي
|E| = |8,221029 − 6,905273| = 1,316
الرسم البياني
الإجابة
|E| = 1,316
تنصيف h ينصّف تقريبًا خطأ طريقة أويلر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations