المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي
dy/dt = ky → y = y0ekt
عمر النصف
k = ln 2 / t½
قانون نيوتن للتبريد
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
عامل التكامل
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
خزان الخلط
dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد
∫ab f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين
∫ab (f − g) dx

الطريقة

  1. أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
  2. طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
  3. استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
  4. للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب
(uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

  1. حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
  2. طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
  3. استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
  4. بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

  1. لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
  2. لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
  3. لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
  4. لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة
t (min)T (°C)41Ta​233 °C127 °C

قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. بعد 41 min تكون درجة حرارتها 233 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 127 °C؟

T0 = 340 °CTa = 21 °CT(41) = 233 °CT = 127 °C
t = min
2.المعادلات التفاضليةصعبة
xy13(1, 4)y(3) = ?

حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 6x لـ x > 0، مع y(1) = 4. أوجد y(3).

y′ + 2y/x = 6xy(1) = 4
y(3) =
3.التكاملاتمتوسطة
xy16y = x ln x

احسب I = ∫₁6 x·ln x dx.

∫₁6 x ln x dx
I =
4.التكاملاتصعبة
xy2,5y = x²eˣ

احسب I = ∫₀2,5 x²·eˣ dx.

∫₀2,5 x²eˣ dx
I =
5.المشتقاتمتوسطة
xyx = 0,5

لتكن f(x) = x·sin(x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
6.المشتقاتصعبة
xyx = −1

المماس لـ f(x) = 3x2 − 5x + 1 عند x = −1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 3x2 − 5x + 1x = −1
b =
7.الطرائق العدديةمتوسطة
xy00,511,52

قرّب ∫02 1/√(1 + x⁴) dx بقاعدة سيمبسون باستخدام n = 4 شريحة. أعطِ S.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 4
S =
8.الطرائق العدديةصعبة
00,10,20,30,42,53ty(0, 3)

استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,2 للمسألة y′ = cos t − y، y(0) = 3 لتقدير y2 ≈ y(0,4).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,2
y2 =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 110,6 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(319/212)/41 = 0,009966 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(319/106)/0,009966 = 110,6 min

الإجابة

t = 110,6 min
2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(3) = 13,78

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

عامل التكامل

μ = e∫2/x dx = x2

كامل

(x2y)′ = 6x3 → x2y = 6x4/4 + C

الشرط الابتدائي

4 = 6/4 + C → C = 2,5

احسب

y(3) = (6·34/4 + 2,5)/32 = 13,78

الإجابة

y(3) = 13,78
3.التكاملات

الإجابة: I = 23,5

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5

الإجابة

I = 23,5
4.التكاملات

الإجابة: I = 37,59

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

الإجابة

I = 37,59
5.المشتقات

الإجابة: f′(0.5) = 0,9182

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

عوّض

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

الإجابة

f′(0,5) = 0,9182
6.المشتقات

الإجابة: b = −2

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

النقطة والميل

f(−1) = 9
f′(x) = 6x − 5 → f′(−1) = −11

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 9 − (−11)·(−1) = −2

الإجابة

b = −2
7.الطرائق العددية

الإجابة: S = 1,36

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

ixᵢf(xᵢ)الوزن001110,50,9701434210,707107231,50,4061384420,2425361

العقد والقيم

h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,970143 + 2·0,707107 + 4·0,406138 + 0,242536 = 8,161873

قاعدة سيمبسون

S = (0,5/3)·8,161873 = 1,36

الإجابة

S = 1,36

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

8.الطرائق العددية

الإجابة: y2 = 2,334

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁003−2−1,6199332,63800710,22,638007−1,65794−1,3853582,333677

خطوات هوين

y₁ = 3 + (0,2/2)(−2 − 1,619933) = 2,638007
y₂ = 2,638007 + (0,2/2)(−1,65794 − 1,385358) = 2,333677
00,10,20,30,42,53ty

الرسم البياني

y2 = 2,334

الإجابة

y2 = 2,334

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations