المعادلات التفاضلية
- النمو/الاضمحلال الأسّي
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- عمر النصف
- k = ln 2 / t½
- قانون نيوتن للتبريد
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- عامل التكامل
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- خزان الخلط
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التكاملات
- قاعدة القوة
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- التكامل المحدد
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- تكاملات شائعة
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- المساحة بين منحنيين
- ∫ab (f − g) dx
الطريقة
- أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
- طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
- استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
- للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).
المشتقات
- قاعدة القوة
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- قاعدة الضرب
- (uv)′ = u′v + uv′
- قاعدة القسمة
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- قاعدة السلسلة
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- مشتقات شائعة
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
الطريقة
- حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
- طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
- استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
- بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.
الطرائق العددية
- التنصيف
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- نيوتن–رافسون
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- الاستيفاء الخطي
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- قاعدة شبه المنحرف
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- قاعدة سيمبسون (n زوجي)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- حد خطأ شبه المنحرف
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- أويلر
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- هوين
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
الطريقة
- لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
- لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
- لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
- لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.
2مسائل تدريبية
1.المعادلات التفاضليةمتوسطة
كوب قهوة عند 94 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 28 min.
T0 = 94 °CTa = 24 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 28 min
T = °C
2.المعادلات التفاضليةصعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 8 kg من الملح؟
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
t = min
3.التكاملاتمتوسطة
تُدوَّر المنطقة تحت y = √(4x) من x = 0 إلى x = 3 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مجسّم مكافئ).
y = √(4x)0 ≤ x ≤ 3
V =
4.التكاملاتصعبة
احسب I = ∫₀3 x²·eˣ dx.
∫₀3 x²eˣ dx
I =
5.المشتقاتمتوسطة
لتكن f(x) = (3x − 3)3. أوجد f′(2).
f(x) = (3x − 3)3x = 2
f′(2) =
6.المشتقاتصعبة
المماس لـ f(x) = −x2 + 2x + 3 عند x = −2 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.
f(x) = −x2 + 2x + 3x = −2
b =
7.الطرائق العدديةمتوسطة
تُقاس سرعة مركبة كل 1 s (جدول). قدّر المسافة s المقطوعة من t = 0 إلى t = 5 s بقاعدة شبه المنحرف.
h = 1 sn = 5
s = m
8.الطرائق العدديةصعبة
استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,5 للمسألة y′ = e−ty، y(0) = 0,5 لتقدير y3 ≈ y(1,5).
y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,5
y3 =
3المحاليل
1.المعادلات التفاضلية
الإجابة: T = 54,22 °C
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
حلّ قانون التبريد
T(t) = 24 + 70·e−0,03t
عوّض t
T(28) = 24 + 70·0,4317 = 54,22 °C
الإجابة
T = 54,22 °C
2.المعادلات التفاضلية
الإجابة: t = 45,81 min
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
النتيجة
m(t) = 10 + (−5)·e−t/50
حلّ لإيجاد t
e−t/50 = (10 − 8)/(10 − 5) = 0,4
t = 50·ln(2,5) = 45,81 min
الإجابة
t = 45,81 min
3.التكاملات
الإجابة: V = 56,55
أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.
طريقة الأقراص
V = π∫₀3 4x dx
كامل
V = π·4·3²/2 = 56,55
الإجابة
V = 56,55
4.التكاملات
الإجابة: I = 98,43
التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.
الجولة الأولى
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
الجولة الثانية
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
النهايات
20,09·(5) − 1·2 = 98,43
الإجابة
I = 98,43
5.المشتقات
الإجابة: f′(2) = 81
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
قاعدة السلسلة
f′(x) = 3·(3x − 3)2·3
عوّض
f′(2) = 3·32·3 = 81
الإجابة
f′(2) = 81
6.المشتقات
الإجابة: b = 7
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
النقطة والميل
f(−2) = −5
f′(x) = −2x + 2 → f′(−2) = 6
المماس عند x = 0
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − 6·(−2) = 7
الإجابة
b = 7
7.الطرائق العددية
الإجابة: s = 53,5 m
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
المجموع الموزون
0 + 2·6 + 2·10 + 2·16 + 2·14 + 15 = 107
قاعدة شبه المنحرف
s = (1/2)·107 = 53,5 m
الإجابة
s = 53,5 m
8.الطرائق العددية
الإجابة: y3 = 1,251
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات هوين
y₁ = 0,5 + (0,5/2)(1 + 0,606531) = 0,901633
y₂ = 0,901633 + (0,5/2)(0,637108 + 0,295175) = 1,134703
y₃ = 1,134703 + (0,5/2)(0,321517 + 0,143246) = 1,250894
الرسم البياني
y3 = 1,251
الإجابة
y3 = 1,251
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations