الإلكترونيات الرقمية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
تردد التداخل الطيفي: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
حجم الخطوة: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب): ±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر: D = ⌊V_in/LSB⌋
عدد البتات لدقة r: 2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات: القنوات × f_s × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود: baud = f_clk/(16·D)

الطريقة

دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع f_s/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند f_a = |f − k·f_s| حيث يكون k·f_s أقرب مضاعف لـ f_s.
في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = V_FSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −110 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −1108 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

صورة غير مضغوطة أبعادها 800 × 600 بكسل و16 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟

800 × 600 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات (SOP) للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 6, 8, 10, 14). كم حرفًا L تحتوي في المجموع (المتغير ذو الشرطة يُعدّ حرفًا واحدًا)؟

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 6, 8, 10, 14)

L =

4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

بُني عدّاد متموّج (غير متزامن) من 8 بتّات من قلّابات تأخير انتشار كل منها 5 ns. يجب أن تكون كل المخارج قد استقرت قبل حافة الساعة التالية. جد أقصى تردد ساعة f_max.

n = 8t_pd = 5 ns

f_max = MHz

5.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة

تؤخذ عينات موجة جيبية 26 kHz بمعدل 20 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. عند أي تردد f_a تظهر في العينات؟ أعطه بوحدة kHz.

f = 26 kHzf_s = 20 kHz

f_a = kHz

6.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة

يبث محوّل ADC بـ 10 بت كل عينة عبر UART بمعدل 460800 baud وبالصيغة 8E1 (بت بدء، و8 بتات بيانات، وتكافؤ زوجي، وبت إيقاف واحد). تُرسل كل عينة في 2 بايت كاملة والوصلة مشغولة طوال الوقت. أوجد أعلى تردد للإشارة f_max يمكن أخذ عيناته دون تداخل طيفي، بوحدة Hz.

baud = 460800 BdN = 108E1

f_max = Hz

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 146

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

110 = 0110 1110

مقلوب: 1001 0001

+1 → 1001 0010

اقرأه بلا إشارة

1001 0010₂ = 256 − 110 = 146

الإجابة

U = 146

2.أنظمة العد

الإجابة: M = 937,5 KiB

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

البتات والبايتات

800·600·16 = 7680000 bit = 960000 B

حوّل إلى KiB

960000/1024 = 937,5 KiB

الإجابة

M = 937,5 KiB

3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 12

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جمّع الآحاد

كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.

CD′

A′BD′

AB′D′

A′B′C′D

الصيغة الدنيا SOP

F = CD′ + A′BD′ + AB′D′ + A′B′C′D

L = 12

الإجابة

L = 12

4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: f_max = 25 MHz

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد f_clk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

أسوأ زمن استقرار

T = 8·5 ns = 40 ns

أقصى تردد

f_max = 1/40 ns = 25 MHz

الإجابة

f_max = 25 MHz

5.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: f_a = 6 kHz

أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة f_s مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < f_s/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند f_a = |f − k·f_s|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وf_s/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على f_s/2 قبل محوّل ADC.

تردد نيكويست

f_s/2 = 10 kHz < f = 26 kHz

أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات

k = round(26/20) = 1

تردد التداخل الطيفي

f_a = |26 − 1·20| = 6 kHz

الإجابة

f_a = 6 kHz

المنحنى المتقطع في الشكل هو التردد المستعار: إنه يمر بالعينات نفسها تمامًا.

6.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: f_max = 10473 Hz

UART: وصلة تسلسلية غير متزامنة ترسل كل بايت في إطار: بت بدء واحد (منخفض)، وبتات البيانات، وبت تكافؤ اختياري، وبت إيقاف أو بتّا إيقاف (مرتفع). معدل الباود هو عدد البتات في الثانية، لذا يستغرق البت الواحد T_b = 1/baud ويستغرق إطار من n بت زمن n/baud. للصيغة الشائعة 8N1 عشرة بتات لكل بايت. يقسم مولّد الباود تردد الساعة: baud = f_clk/(16·D) مع عدد صحيح D، فيختلف معدل الباود الفعلي قليلًا عن المطلوب؛ وخطأ أقل من نحو 2 % مقبول عادةً.

البتات لكل عينة على الخط

2·11 = 22 bit

أعلى معدل لأخذ العينات

f_s,max = 460800/22 = 20945 Hz

حد نيكويست

f_max = 20945/2 = 10473 Hz

الإجابة

f_max = 10473 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics