الإلكترونيات الرقمية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
تردد التداخل الطيفي: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
حجم الخطوة: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب): ±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر: D = ⌊V_in/LSB⌋
عدد البتات لدقة r: 2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات: القنوات × f_s × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود: baud = f_clk/(16·D)

الطريقة

دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع f_s/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند f_a = |f − k·f_s| حيث يكون k·f_s أقرب مضاعف لـ f_s.
في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = V_FSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −41 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −418 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 1010 1111 OR 1100 1010. ما قيمة الناتج R بالعشري؟

1010 1111OR1100 1010

R =

3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

بسّط F = A′B + AB′C′ + ABC + B′C′ إلى الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات. كم حرفًا L يحتوي التعبير المبسَّط؟

F = A′B + AB′C′ + ABC + B′C′

L =

4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

عدّاد ثنائي تنازلي بـ 3 بتّات يبدأ من 5 (بالنظام العشري، Q = 101). أي عدّ Q (بالنظام العشري) يُظهر بعد 17 نبضات ساعة؟

Q₀ = 517n = 3

Q =

5.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة

يأخذ مسجّل عينات من قناة واحدة بمعدل 2 kHz بمحوّل ADC بـ 14 بت. تُخزَّن كل عينة في عدد صحيح من البايتات. أوجد الذاكرة M اللازمة لتسجيل مدته 60 min، بوحدة MB (1 MB = 10⁶ بايت).

n = 1f_s = 2 kHzN = 14t = 60 min

M = MB

6.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة

تؤخذ عينات موجة مربعة 600 Hz بمعدل 2 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. تحتوي الموجة المربعة على التوافقيات الفردية 3f₁ و5f₁ و7f₁ وهكذا. عند أي تردد f_a يظهر التوافقي 3f₁ في البيانات المأخوذة؟ أعطه بوحدة Hz.

f₁ = 600 Hzf_s = 2 kHzالتوافقي: 3f₁

f_a = Hz

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 215

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

41 = 0010 1001

مقلوب: 1101 0110

+1 → 1101 0111

اقرأه بلا إشارة

1101 0111₂ = 256 − 41 = 215

الإجابة

U = 215

2.أنظمة العد

الإجابة: R = 239

بتًا ببت

تعطي OR القيمة 1 حيث يكون أحد البتين على الأقل 1.

1010 1111

OR 1100 1010

= 1110 1111

قيمة الناتج

1110 1111₂ = 239

الإجابة

R = 239

3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 6

الجبر البولياني: القواعد التي تبسّط التعابير هي X + X′ = 1 و X·X′ = 0، و X + X = X، والامتصاص X + X·Y = X، وقاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X، و X + X′Y = X + Y، ومبرهنة الإجماع XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. تحوّل قوانين دي مورغان (X·Y)′ إلى X′ + Y′ و (X + Y)′ إلى X′·Y′. وتطبّق خريطة كارنو هذه القواعد بيانيًا: كل مجموعة من خليتين متجاورتين هي استخدام واحد لـ XY + XY′ = X.

الحدود الصغرى للتعبير

A′B → m(2, 3)

AB′C′ → m(4)

ABC → m(7)

B′C′ → m(0, 4)

جمّع واقرأ

F = B′C′ + BC + A′C′

عُدّ الحروف

L = 6

الإجابة

L = 6

يوجد تجميع آخر بالحجم نفسه؛ وله عدد الحروف نفسه.

4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: Q = 4

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد f_clk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

الدورات الكاملة

كل 8 نبضة تعيد العدّاد إلى الحالة نفسها.

17 = 2·8 + 1

العدّ بعد النبضات المتبقية

Q = (5 − 1) mod 8 = 4

Q = 100₂

الإجابة

Q = 4

5.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: M = 14,4 MB

معدلات البيانات: تسلّم كل قناة f_s عينة في الثانية، كل منها N بت، فيكون المعدل الخام القنوات × f_s × N bit/s. وفي الذاكرة تشغل العينة عددًا صحيحًا من البايتات (عينة 12 بت تُخزَّن في بايتين)، فتكون الذاكرة اللازمة لتسجيل ما يساوي القنوات × f_s × البايتات لكل عينة × الزمن. يحوّل محوّل ADC متعدد القنوات القنوات واحدة تلو الأخرى: يستغرق كل تحويل (مع زمن الاستقرار) t، فتستغرق جولة n قناة n·t وتُؤخذ عينات كل قناة بمعدل 1/(n·t).

البايتات لكل عينة

⌈14/8⌉ = 2 B

معدل البايتات

1·2000·2 = 4000 B/s

الذاكرة

M = 4000·3600 = 1,44 × 10⁷ B = 14,4 MB

الإجابة

M = 14,4 MB

6.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: f_a = 200 Hz

أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة f_s مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < f_s/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند f_a = |f − k·f_s|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وf_s/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على f_s/2 قبل محوّل ADC.

تردد التوافقي

3f₁ = 3·600 Hz = 1,8 kHz

أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات

m = round(0,9) = 1

تردد التداخل الطيفي

f_a = |1800 − 1·2000| = 200 Hz

الإجابة

f_a = 200 Hz

يقع التردد المستعار داخل نطاق الإشارة، حيث لا يستطيع أي مرشح رقمي إزالته. لا يفيد إلا مرشح تماثلي قبل محوّل ADC.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics